Як я можу довести, що функція кумулятивного розподілу правильна безперервно?

Я на своїх курсах імовірності дізнався, що функція кумулятивного розподілу випадкової величини є правильною безперервно. Чи можна це довести?$F$$X$

Щоб довести правильну безперервність функції розподілу, ви повинні використовувати неперервність зверху , що ви, ймовірно, довели в одному зі своїх імовірнісних курсів.$P$

Лема Якщо послідовність подій зменшується, в тому сенсі, що для кожного , то , в якій .$\{A_n\}_{n\geq 1}$$A_n\supset A_{n+1}$$n\geq 1$$P(A_n)\downarrow P(A)$$A=\cap_{n=1}^\infty A_n$

Давайте скористаємося лемою. Функція розподілу є правильною безперервною в деякій точці і лише тоді, коли для кожної спадної послідовності дійсних чисел така, що нас є .$F$$a$$\{x_n\}_{n\geq 1}$$x_n\downarrow a$$F(x_n)\downarrow F(a)$

Визначте події , для . Доведемо, що$A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$$n\geq 1$

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

В одному напрямку, якщо для кожного , оскільки , у нас .$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$$x_n\downarrow a$$X(\omega)\leq a$

В іншому напрямку, якщо , оскільки для кожного , маємо , для кожного .$X(\omega)\leq a$$a\leq x_n$$n\geq 1$$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$

Використовуючи лему, випливає такий результат:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$