Як , полярна координата, розподілена, коли і коли ?

Нехай вибираються декартові координати випадкової точки st .$x,y$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$

Таким чином, радіус, , не розподілений рівномірно, як мається на увазі у ' pdf .$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$$\rho$

Тим не менш, я б очікував, що буде майже рівномірним, виключаючи артефакти через 4 залишки на краях:$\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$

Нижче наведені grafically розрахункові функції щільності ймовірності з $\theta$ і $\rho$ :

Тепер, якщо я дозволю поширюється st то здається рівномірно розподіленим:x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 ) $x,y$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$$\theta$

Чому не рівномірний, коли і рівномірний, коли ?( x , y ) ∼ U ( - 10 , 10 ) × U ( - 10 , 10 ) x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

Я використовував код Matlab:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Заміна 3-го рядка: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);з r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;змінить розподіл від нормального до рівномірного.$(x,y)$

Ви маєте на увазі перетворення від пари незалежних змінних до полярного подання (радіус і кут), а потім дивитесь на граничний розподіл .( R , θ ) $(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

Я збираюся запропонувати дещо інтуїтивне пояснення (хоча математичне виведення щільності робить по суті те, що я описую неформально).

Зауважте, що якщо ви масштабуєте дві змінні, X і Y за якоюсь загальною шкалою (наприклад, перехід від U (-1,1) до U (-10,10) або від N (0,1) до N (0,20) на обидві змінні одночасно), що не має значення для розподілу кута (це впливає лише на масштаб розподілу радіуса). Тож давайте розглянемо одиничні випадки.

Спочатку подумайте, що відбувається з єдиною справою. Зауважте, що розподіл є рівномірним по одиничному квадрату, так що щільність ймовірності в області, що міститься в межах , пропорційна площі області. Зокрема, подивіться на щільність, пов'язану з елементом кута, поблизу горизонталі (біля кута ) та на діагоналі (біля кута ): d θ θ = 0 θ = π /$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

Очевидно, що ймовірність елемента (тобто площа), що відповідає елементу кута ( ), більша, коли кут знаходиться біля однієї з діагоналей. Дійсно розглянути можливість вписання кола всередині квадрата; площа, що охоплюється заданим крихітним кутом у колі, є постійною, і тоді частина поза колом зростає, коли ми наближаємось до діагоналі, де вона на максимумі. d $df_\theta$$d\theta$

Це повністю пояснює шаблон, який ви бачите в симуляціях.

Дійсно, ми можемо бачити, що щільність повинна бути пропорційною довжині відрізка від центру квадрата до його краю; простої тригонометрії достатньо, щоб звідти вивести щільність, і тоді легко знайти константу, необхідну для інтеграції щільності до 1.

[Редагувати: додав цей наступний біт, щоб обговорити радіус, оскільки питання змінилося з моєї оригінальної відповіді.]

Зауважимо, що якби ми мали рівномірний розподіл по одиничному колу (тобто тій, яку ми вписали у квадрат раніше), то щільність радіуса для цього була б пропорційною радіусу (розглянемо площу невеликого кільцевого елемента шириною при радіус - тобто між і - має площу, пропорційну ). Тоді, коли ми проходимо за межі кола, нові кільцеві області з більшим радіусом отримують лише внесок густини від частини в квадраті, тому щільність зменшується (спочатку досить швидко, потім повільніше) між і . (Знову ж таки, досить простих геометричних понять достатньо, щоб отримати функціональну форму щільності, якщо вона потрібна.)r r r + d r r 1 $dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$$\sqrt 2$

---

Навпаки, якщо спільний розподіл обертально симетричний щодо початку, то елемент ймовірності під деяким кутом не залежить від кута (це, по суті, тавтологія!). Біваріантний розподіл двох незалежних стандартних гауссів ротаційно симетричний щодо походження:

(Код цього зображення на основі коду Elan Коена тут , але є хороша альтернатива тут , і що - то між ними тут )

Отже, об'єм, що міститься в деякому куті , однаковий для кожного , тому щільність, пов'язана з кутом, рівномірна на .θ [ 0 , 2 π $d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[Полярний трюк, який зазвичай використовується для інтеграції нормальної густини через реальну пряму, може бути використаний для з'ясування того, що щільність квадратного радіуса є негативною експоненціальною, і звідси щільність радіуса легко визначити простим аргументом перетворення від функція розподілу]

Я відповім на питання про нормальний випадок, що веде до рівномірного розподілу. Добре відомо, що якщо і незалежні і нормально розподілені контури постійної щільності ймовірності - це коло в площині . Радіус має розподіл Релея. Щоб добре обговорити це, стаття у Вікіпедії під назвою Поширення Релея.Y x - y R = $X$$Y$$x-y$$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

Тепер давайте розглянемо випадкові величини і за допомогою полярних координат.$X$$Y$

Y $X = r\cos(\theta)$ , . зауважимо, що . Якщо рівномірна на і має розподіл Релея, і будуть незалежними нормалами, кожен з середнім і загальною дисперсією. Зворотна також правда. Доказом зворотного є те, що я думаю, що ОП хоче як відповідь на другу частину питання.$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

Ось ескіз доказу. Без втрати загальності можна вважати, що розподілено а розподілено і незалежно один від одного.$X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

Тоді щільність стику . Використовуйте перетворення на полярні координати, щоб отримати . Оскільки і . Отже, і . Обчисліть якобійський перетворення і зробіть відповідну підстановку на . в результаті буде для і . Це показує, що і тета незалежні від$f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$ θ=arctan(x/y)f(x,y)g(r,θ)rexp[(-r2)/(2π)]r≥00≤θ≤2πrr1/(2π$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$маючи розподіл Релея і тета має постійну щільність .$1/(2 \pi)$

Для завершення досить хороших відповідей, які дають Глен та Майкл, я просто обчислюю щільність коли розподіл рівномірно на квадраті . Ця рівномірна щільність становить на цьому квадраті, іншому місці - тобто ймовірність вибірки точки в даній області квадрата дорівнює площі цього регіону.$\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$$1 \over 4$$0$$1 \over 4$

Цікавим для нашого питання є червоний сектор на цьому малюнку:

Це трикутник, обмежений кутом і . Імовірність вибірки точки в цьому трикутнику - це ймовірність вибірки значення між та - яка є щільністю .$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

Я зроблю обчислення для - всю густину можна отримати, розширивши її на періодичність.$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

Елементарна тригонометрія показує, що нижня сторона має довжину . Верхній розмір має довжину (Ми побачимо, що точне значення похідної тут насправді не має значення!)$1\over \cos\theta$

$${1\over \cos(\theta + d\theta)} = {1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta.$$

Тепер площа трикутника з двома сторонами подовжень і утворюють кут є , отже, в нашому випадку (ми нехтуємо вищими силами і використовуємо ).$a$$b$$\alpha$${1\over 2}ab\sin\alpha$

$${1\over 2} \left({1\over \cos\theta} \right) \left({1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta\right) \sin d\theta = {d\theta \over 2\cos^2 \theta}$$ $d\theta$$\sin d \theta= d\theta$

Таким чином, щільність дорівнює для в , і є періодичні.$\theta$ θ[-

$${1\over 8 \cos^2 \theta}$$ $\theta$$\left[-{\pi\over 4},{\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

Підтвердження:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )