Який розподіл похибки навколо даних логістичного зростання?

В екології ми часто використовуємо логістичне рівняння зростання:

або

де $K$ - вантажопідйомність (досягнута максимальна щільність), $N_0$ - початкова щільність, $r$ - темп зростання, $t$ час від початкового.

Значення $N_t$ має м’яку верхню межу $(K)$ і нижня межа $(N_0)$, з сильною нижньою межею в $0$.

Крім того, в моєму конкретному контексті вимірювання $N_t$ здійснюються за допомогою оптичної щільності або флуоресценції, обидві мають теоретичні максимуми, і, отже, сильну верхню межу.

Помилка навколо $N_t$ тому, ймовірно, найкраще описується обмеженим розподілом.

При малих значеннях $N_t$, розподіл, ймовірно, має сильне позитивне перекос, хоча і при значеннях $N_t$наближаючись до K, розподіл, ймовірно, має сильний негативний перекіс. Таким чином, розподіл, ймовірно, має параметр форми, з яким можна пов'язати$N_t$.

Дисперсія також може зростати з $N_t$.

Ось графічний приклад

з

K<-0.8
r<-1
N0<-0.01
t<-1:10
max<-1

які можуть бути вироблені в р с

library(devtools)
source_url("https://raw.github.com/edielivon/Useful-R-functions/master/Growth%20curves/example%20plot.R")

• Яким би був теоретичний розподіл помилок навколо $N_t$ (з урахуванням як моделі, так і емпіричної інформації)?

• Як параметри цього розподілу відносяться до значення $N_t$ або час (якщо з використанням параметрів був режим, який не можна безпосередньо пов'язати з) $N_t$напр. logis нормальний)?

• Чи має цей розподіл функцію щільності, реалізовану в $R$?

Досі вивчені напрямки:

• Припускаючи нормальність навколо $N_t$ (призводить до перевищення оцінок $K$)
• Логітуйте нормальний розподіл навколо $N_t/max$, але труднощі з пристосуванням параметрів форми альфа та бета-версія
• Нормальний розподіл навколо логіки $N_t/max$

Як зазначав Майкл Черник, масштабний бета-розподіл має найкращий сенс для цього. Однак для всіх практичних цілей і сподіваючись, що НІКОЛИщоб отримати модель абсолютно правильно, вам краще просто моделювати середнє за допомогою нелінійної регресії згідно з вашим логістичним рівнянням зростання і обгортати це стандартними помилками, які є надійними для гетерокедастичності. Якщо поставити це в контекст максимальної ймовірності, то створиться помилкове відчуття великої точності. Якщо екологічна теорія виробить розподіл, ви повинні відповідати цьому розподілу. Якщо ваша теорія дає лише передбачення в середньому, вам слід дотримуватися цієї інтерпретації і не намагатися придумати нічого іншого, як повне розповсюдження. (Система кривих Пірсона, безумовно, була фантазійна 100 років тому, але випадкові процеси не слідують за диференціальними рівняннями для отримання кривих щільності, що було його мотивацією з цими кривими щільності - скоріше,$N_t$сам - я маю на увазі розподіл Пуассона як приклад - і я не зовсім впевнений, що цей ефект буде зафіксований масштабним бета-розподілом; навпаки, воно стиснеться, коли ви потягнете середину до її теоретичної верхньої межі, що, можливо, доведеться робити. Якщо ваш вимірювальний пристрій має верхню межу вимірювань, це не означає, що ваш фактичний процесповинна мати верхню межу; Я скоріше скажу, що помилка вимірювання, введена вашими пристроями, стає критичною, оскільки процес досягає цієї верхньої межі, коли вимірюється досить точно. Якщо ви плутаєте вимірювання з основним процесом, ви повинні це чітко визнати, але я думаю, що у вас є більший інтерес до процесу, ніж у описі того, як працює ваш пристрій. (Процес буде існувати через 10 років; нові вимірювальні прилади можуть стати доступними, тож ваша робота застаріє.)

@whuber правильний, що немає необхідного зв’язку структурної частини цієї моделі з розподілом термінів помилки. Тож відповіді на ваше запитання щодо теоретичного розподілу помилок немає.

Це не означає, що це не гарне запитання - лише те, що відповідь має бути значною мірою емпіричною.

Ви, здається, припускаєте, що випадковість є адитивною. Я не бачу причин (крім обчислювальної зручності) для цього. Чи є альтернативою, що в моделі є десь інший випадковий елемент? Наприклад, див. Наступне, де випадковість вводиться як нормально розподілена із середнім значенням 1, дисперсія - єдине, що можна оцінити. У мене немає підстав вважати, що це правильна справа, крім того, що вона дає правдоподібні результати, які, здається, відповідають тому, що ви хочете бачити. Чи було б практичним використовувати щось подібне як основу для оцінки моделі, я не знаю.

loggrowth <- function(K, N, r, time, rand=1){
    K*N*exp(rand*r*time)/(K+N*exp(rand*r*time-1)))}

plot(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100, rnorm(100,1,0.1)), 
    type="p", ylab="", xlab="time")
lines(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100))