Ефективно створюйте точки між одиничним колом та одиницею квадрата

Я б хотів генерувати зразки з блакитної області, визначеної тут:

Наївним рішенням є використання відбору проб відхилення в одиничному квадраті, але це забезпечує лише ефективність (~ 21,4%).$1-\pi/4$

Чи є якийсь спосіб я можу зробити вибірку більш ефективно?

Зроблять два мільйони очок за секунду?

Розподіл симетричний: нам потрібно лише розробити розподіл на одну восьму повного кола, а потім скопіювати його навколо інших октантів. У полярних координатах кумулятивний розподіл кута Θ для випадкового розташування ( X , Y ) при значенні θ задається площею між трикутником ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , tan θ ) і дуга кола, що проходить від $(r,\theta)$$\Theta$$(X,Y)$$\theta$$(0,0), (1,0), (1,\tan\theta)$ до ( cos θ , sin θ ) . Таким чином, він пропорційний$(1,0)$$(\cos\theta,\sin\theta)$

$$F_\Theta(\theta) = \Pr(\Theta \le \theta) \propto \frac{1}{2}\tan(\theta) - \frac{\theta}{2},$$

звідки його щільність

$$f_\Theta(\theta) = \frac{d}{d\theta} F_\Theta(\theta) \propto \tan^2(\theta).$$

Ми можемо взяти вибірку з цієї щільності, використовуючи, скажімо, метод відкидання (який має ефективність ).$8/\pi-2 \approx 54.6479\%$

Умовна щільність радіальної координати пропорційна r d r між r = 1 та r = sec θ . Це можна пробити за допомогою легкої інверсії CDF.$R$$rdr$$r=1$$r=\sec\theta$

Якщо ми генеруємо незалежні зразки , перетворення назад до декартових координат ( x i , y i ) вибірки цього октанта. Оскільки вибірки є незалежними, випадкове зміна координат створює незалежну випадкову вибірку з першого квадранта, як бажано. (Випадкові свопи вимагають генерування лише однієї біноміальної змінної, щоб визначити, скільки реалізується для заміни.)$(r_i,\theta_i)$$(x_i,y_i)$

Кожна така реалізація вимагає, в середньому, однієї рівномірної змінної (для R ) плюс 1 / ( 8 π - 2 ) разів двох рівномірних змінних (для Θ ) і невеликої кількості (швидкого) обчислення. Це 4 / ( π - 4 ) ≈ 4,66 змінних на точку (що, звичайно, має дві координати). Повна інформація наведена в прикладі коду нижче. Ця цифра відображає 10 000 з більш ніж півмільйона отриманих балів.$(X,Y)$$R$$1/(8\pi-2)$$\Theta$$4/(\pi-4) \approx 4.66$

Ось Rкод, який створив це моделювання та приуротив його.

n.sim <- 1e6
x.time <- system.time({
  # Generate trial angles `theta`
  theta <- sqrt(runif(n.sim)) * pi/4
  # Rejection step.
  theta <- theta[runif(n.sim) * 4 * theta <= pi * tan(theta)^2]
  # Generate radial coordinates `r`.
  n <- length(theta)
  r <- sqrt(1 + runif(n) * tan(theta)^2)
  # Convert to Cartesian coordinates.
  # (The products will generate a full circle)
  x <- r * cos(theta) #* c(1,1,-1,-1)
  y <- r * sin(theta) #* c(1,-1,1,-1)
  # Swap approximately half the coordinates.
  k <- rbinom(1, n, 1/2)
  if (k > 0) {
    z <- y[1:k]
    y[1:k] <- x[1:k]
    x[1:k] <- z
  }
})
message(signif(x.time[3] * 1e6/n, 2), " seconds per million points.")
#
# Plot the result to confirm.
#
plot(c(0,1), c(0,1), type="n", bty="n", asp=1, xlab="x", ylab="y")
rect(-1, -1, 1, 1, col="White", border="#00000040")
m <- sample.int(n, min(n, 1e4))
points(x[m],y[m], pch=19, cex=1/2, col="#0000e010")

Я пропоную наступне рішення, яке повинно бути простішим, ефективнішим та / або обчислювально дешевшим, ніж інші соуси від @cardinal, @whuber та @ stephan-kolassa поки що.

Він включає наступні прості кроки:

$$u_1 \sim Unif(0,1)\\ u_2 \sim Unif(0,1).$$

$\min\{u_1,u_2\}, \max\{u_1,u_2\}$

$$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -1\\ \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 & 0\\ \end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} \min\{u_1,u_2\}\\ \max\{u_1,u_2\}\\ \end{bmatrix}.$$

$x$$y$$u_1 > u_2$

$$x^2 + y^2 < 1.$$

Інтуїція, що стоїть за цим алгоритмом, показана на малюнку.

Кроки 2a та 2b можна об'єднати в один крок:

$$x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \min(u_1, u_2) - u_2\\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \min(u_1, u_2) - u_1$$

Наступний код реалізує алгоритм, наведений вище (і тестує його за допомогою коду @ whuber).

n.sim <- 1e6
x.time <- system.time({
    # Draw two standard uniform samples
    u_1 <- runif(n.sim)
    u_2 <- runif(n.sim)
    # Apply shear transformation and swap
    tmp <- 1 + sqrt(2)/2 * pmin(u_1, u_2)
    x <- tmp - u_2
    y <- tmp - u_1
    # Reject if inside circle
    accept <- x^2 + y^2 > 1
    x <- x[accept]
    y <- y[accept]
    n <- length(x)
})
message(signif(x.time[3] * 1e6/n, 2), " seconds per million points.")
#
# Plot the result to confirm.
#
plot(c(0,1), c(0,1), type="n", bty="n", asp=1, xlab="x", ylab="y")
rect(-1, -1, 1, 1, col="White", border="#00000040")
m <- sample.int(n, min(n, 1e4))
points(x[m],y[m], pch=19, cex=1/2, col="#0000e010")

Деякі швидкі тести дають такі результати.

Алгоритм /stats//a/258349 . Найкраще 3: 0,33 секунди на мільйон очок.

Цей алгоритм. Найкраще 3: 0,18 секунди на мільйон очок.

Що ж, ефективніше можна зробити, але я впевнений, що ви швидше не шукаєте .

$x$$x$

$$f(x) = 1-\sqrt{1-x^2}.$$

Wolfram допомагає вам інтегрувати це :

$$\int_0^x f(y)dy = -\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+x-\frac{1}{2}\arcsin x.$$

$F$$\int_0^1 f(y)dy$

$x$$t$$0$$1$$x$$F(x)=t$

Нарешті, дано $x$, виберіть випадковий $y$ що рівномірно розподілено між собою $\sqrt{1-x^2}$ і $1$.

Нижче наведено код R. Зауважте, що я попередньо оцінював CDF в сітці$x$ значення, і навіть тоді це займає досить декількох хвилин.

Напевно, ви можете трохи прискорити інверсію CDF, якщо вкладете трохи думок. Потім знову мислення боляче. Я особисто хотів би взяти вибірку відхилень, що швидше і набагато менш схильне до помилок, якщо б у мене не було дуже вагомих причин цього не робити.

epsilon <- 1e-6
xx <- seq(0,1,by=epsilon)
x.cdf <- function(x) x-(x*sqrt(1-x^2)+asin(x))/2
xx.cdf <- x.cdf(xx)/x.cdf(1)

nn <- 1e4
rr <- matrix(nrow=nn,ncol=2)
set.seed(1)
pb <- winProgressBar(max=nn)
for ( ii in 1:nn ) {
    setWinProgressBar(pb,ii,paste(ii,"of",nn))
    x <- max(xx[xx.cdf<runif(1)])
    y <- runif(1,sqrt(1-x^2),1)
    rr[ii,] <- c(x,y)
}
close(pb)

plot(rr,pch=19,cex=.3,xlab="",ylab="")