Чому P (A, B | C) / P (B | C) = P (A

16

Я розумію . Умовним є перетин A і B, розділене на всю площу B. $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$

Але чому ? $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$

Ви можете дати трохи інтуїції?

Чи не повинно бути: ? $P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$

probability conditional-probability

— іхаданні
джерело

2

Може бути, легше зрозуміти його у мультиплікативній формі: ?

P (A, B ∣ C) = P (A ∣ B, C) P (B ∣ C)

$P(A,B\mid C)=P(A\mid B,C)P(B\mid C)$

— Hagen von Eitzen

37

Будь-який результат вірогідності, що відповідає дійсній безумовної ймовірності, залишається істинним, якщо все залежить від якоїсь події.

Ви знаєте, що за визначенням, і тому, якщо ми обумовлюємо все на що сталося, ми отримуємо це точно так, як вам каже ваша інтуїція. Але ви можете встановити і почати з визначення як у а потім множимо та ділимо на праворуч від записати кінцевий результат у вигляді

\begin{matrix} (1) & P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} \end{matrix}

$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$

C

$C$

\begin{matrix} (2) & P (A ∣ (B \cap C)) = \frac{P ((A \cap B) ∣ C)}{P (B ∣ C)} \end{matrix}

$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$

D = B \cap C

$D = B\cap C$

P (A ∣ (B \cap C)) = P (A ∣ D)

$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$

(1)

$(1)$

\begin{matrix} (3) & P (A ∣ (B \cap C)) = P (A ∣ D) = \frac{P (A \cap D)}{P (D)} = \frac{P (A \cap (B \cap C))}{P (B \cap C)} = \frac{P (A \cap B \cap C)}{P (B \cap C)} \end{matrix}

$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$

P (C))

$P(C))$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$ як у відповіді Тейлора.

— Діліп Сарват
джерело

20

Просто намалюйте діаграму Венна. Потім у нас є і співвідношення слідує діленням першого виразу на другий.

Pr [A \cap B ∣ C] = \frac{"1"}{"C"}, Pr [B ∣ C] = \frac{"1" + "2"}{"C"}, Pr [A ∣ B \cap C] = \frac{"1"}{"1" + "2"},

$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$

— геропуп
джерело

18

\begin{aligned} \frac{P (A, B | C)}{P (B | C)} & = \frac{P (A, B, C)}{P (C)} \frac{P (C)}{P (B, C)} \\ = \frac{P (A, B, C)}{P (B, C)} \\ = P (A | B, C) \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$

— Тейлор
джерело

9

-1 Хоча цілком коректно, питання, яке задають певну інтуїцію, але цього не містить.

— Джек Едлі

Яке значення ?

P (A, B)

$P(A,B)$

— Сіань

2

це означає P (A і B) :: спільна ймовірність,

— nyxee

@ Xi'an Я думаю, що це були оригінальні позначення

— Тейлор

4

Моя інтуїція полягає в наступному ...

Умови на означають, що ми розглядаємо лише випадки, коли заданоТепер припустимо , що я живу в світі , де завжди дається. $C$ $C$ $C$

Мій pepole нічого не знає про і не може уявити собі світ без . Чомусь наші математики позначають ймовірність через . Вони також вже виявили правило $C$ $X$ $\hat{P}(X)$

\hat{P} (A | B) = \frac{\hat{P} (A \cap B)}{\hat{P} (B)} .

$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$

Тепер ви, як Землянин, знаєте світ, де не є частиною припущень у повсякденному житті. Отже, прийшовши на нашу планету, ви можете відразу помітити, що кожна наша ймовірність насправді відповідає вашому . $C$ $\hat P(X)$ $P(X|C)$

Ви можете негайно переписати RHS, дотримуючись верхнього відкриття:

\frac{P (A \cap B ∣ C)}{P (B ∣ C)} .

$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$

$A$ $B$ $C$

P (A ∣ B \cap C),

$P(A\mid B\cap C)\text{,}$

— Антуан
джерело

Чому P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)?