t-тест на частково парні та частково непарні дані

Слідчий хоче зробити комбінований аналіз декількох наборів даних. У деяких наборах даних є парні спостереження щодо лікування A і B. В інших є непарні дані A та / або B. Я шукаю посилання на адаптацію t-тесту, або на тест коефіцієнта ймовірності, для таких частково парних даних. Я готовий (поки що) вважати нормальність з однаковою відмінністю, і те, що сукупність засобів для A однакова для кожного дослідження (і аналогічно B).

Го і Юань пропонують альтернативний метод, який називається оптимальним об'єднаним t-тестом, що випливає з об'єднаного t-тесту Samawi і Vogel.

Посилання на посилання: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.865.734&rep=rep1&type=pdf

Чудово читати з декількома варіантами для цієї ситуації.

Новий коментар, тому, будь ласка, повідомте мене, чи потрібно мені щось додати.

Добре, якби ви знали відхилення в парних і в парних (що, як правило, було б набагато меншим), оптимальною вагою для двох оцінок різниці у групах означає, що б ваги були обернено пропорційними дисперсії особи. оцінки різниці в засобах.

[Редагувати: виявляється, що коли оцінюються дисперсії, це називається оцінкою Graybill-Deal. Про це було досить багато паперів. Ось один]

Необхідність оцінювати дисперсію спричиняє певні труднощі (результуюче співвідношення оцінок дисперсії дорівнює F, і я думаю, що отримані ваги мають бета-розподіл, а результуюча статистика є якоюсь складною), але оскільки ви розглядаєте питання про завантаження, це може бути менше турбот.

Альтернативна можливість, яка в певному сенсі може бути приємнішою (або, принаймні, трохи більш стійкою до ненормативності, оскільки ми граємо з коефіцієнтами дисперсії) з дуже невеликою втратою ефективності в нормі, - це базувати комбіновану оцінку зсуву парні та непарні парні тести - у кожному випадку свого роду оцінка Ходжеса-Леманна, у непарному випадку засновані на медіанах парних перехресних різниць вибірки та у парному випадку від медіанів парних середніх та парних різниць. Знову ж таки, мінімальна лінійна комбінація, зважена на дисперсію, повинна бути з вагами, пропорційними зворотам дисперсій. У цьому випадку я, мабуть, схиляюся до перестановки (/ рандомізації), а не до завантажувальної стрічки - але залежно від того, як ви реалізуєте свій завантажувальний інструмент, вони можуть опинитися там же.

В будь-якому випадку ви, можливо, захочете зменшити коефіцієнт дисперсії / зменшити співвідношення. Отримати правильний м'яч для ваги добре, але ви втратите дуже низьку ефективність при нормі, зробивши його трохи міцним. ---

Деякі додаткові думки, які я раніше не досить чітко розібрав у голові:

Ця проблема має чітку схожість із проблемою Беренса-Фішера, але ще складніше.

Якби ми фіксували ваги, ми могли б просто вдаритись у наближенні типу Вельха-Саттертвайта; структура проблеми однакова.

Наше питання полягає в тому, що ми хочемо оптимізувати ваги, що фактично означає, що зважування не є фіксованим - і справді, як правило, максимізувати статистику (принаймні приблизно і більше майже у великих зразках, оскільки будь-який набір ваг є випадковою величиною, що оцінює однакову чисельник, і ми намагаємось мінімізувати знаменник; два не є незалежними).

Це, на мій погляд, погіршить наближення чі-квадрата і майже напевно вплине на df-наближення ще далі.

[Якщо ця проблема є можливою, також може виявитися хороше правило, яке б сказало, що "ви можете зробити майже так само добре, якщо ви використовуєте лише парні дані за цих наборів обставин, лише непоєднані в цих інших наборах В інших умовах ця фіксована вагова схема, як правило, дуже близька до оптимальної ", - але я не затримаю дихання, чекаючи цього шансу. Таке правило рішення, безсумнівно, мало би вплинути на справжнє значення у кожному конкретному випадку, але якби цей ефект був не таким великим, таке правило виконувало б простий спосіб для людей використовувати існуюче застаріле програмне забезпечення, тому було б бажано спробуйте визначити таке правило для користувачів у такій ситуації.]

---

Edit: Зверніть увагу на себе - потрібно повернутися і заповнити в деталях роботи на «перекриваються зразки» тести, особливо перекриваються зразки Т-тести

---

Мені здається, що тест рандомізації повинен працювати добре -

• де дані спарені, ви випадковим чином перетворюєте мітки групи в парах

• де дані є непарними, але передбачається, що вони мають спільний розподіл (під нулем), ви перестановите групові завдання

• тепер ви можете базувати ваги до двох оцінок зсуву за відносними оцінками дисперсії ( $w_1 = 1/(1+\frac{v_1}{v_2})$), обчисліть зважену оцінку зсуву кожної рандомізованої вибірки і подивіться, де вибірка вписується в розподіл рандомізації.

(Додано набагато пізніше)

Можливо, релевантний папір:

Derrick, B., Russ B., Toher, D., and White, P. (2017),
"Статистика тестів для порівняння засобів для двох зразків, що включають як парні, так і незалежні спостереження",
Журнал сучасних прикладних статистичних методів , травень , Вип. 16, № 1, 137-157.
doi: 10.22237 / jmasm / 1493597280
http://digitalcommons.wayne.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=2251&context=jmasm

Ось кілька думок. Я в основному просто приходжу до висновку Грега Сноу, що ця проблема має чітку схожість з проблемою Беренса-Фішера . Щоб уникнути рукоділля, я спочатку ввожу деякі позначення та оформлюю гіпотези.

• $n$$x_i^{pA}$$x_i^{pB}$$i = 1, \dots, n$
• $n_A$$n_B$$x_i^A$$i = 1, \dots, n_A$$x_i^B$$i = 1, \dots, n_B$

• кожне спостереження - це сума ефекту пацієнта та ефекту лікування. Відповідні випадкові величини є

  • $X_i^{pA} = P_i + T_i^A$$X_i^{pB} = P_i + T_i^B$
  • $X_i^A = Q_i + U_i^A$$X_i^B = R_i + V_i^B$

  $P_i, Q_i, R_i \sim \mathcal N(0,\sigma_P^2)$$T_i^\tau, U_i^\tau, V_i^\tau \sim \mathcal N(\mu_\tau, \sigma^2)$$\tau = A, B$

  • $\mu_A = \mu_B$

$X_i = X_i^{pA} - X_i^{pB}$$X_i \sim \mathcal N(\mu_A - \mu_B, 2\sigma^2)$

$X_i$$n$$X_i^A$$n_A$$X_i^B$$n_B$

• $X_\bullet\sim \mathcal N(\mu_A - \mu_B, {2\over n} \sigma^2)$
• $X^A_\bullet\sim \mathcal N(\mu_A , {1\over n_A} (\sigma_P^2 + \sigma^2))$
• $X^B_\bullet\sim \mathcal N(\mu_B , {1\over n_B} (\sigma_P^2 + \sigma^2))$

Наступний природний крок - це розглянути

• $Y = X_\bullet + X^A_\bullet - X^B_\bullet \sim \mathcal N\left( 2(\mu_A-\mu_B), {2\over n} \sigma^2 + \left({1\over n_A}+ {1\over n_B}\right) (\sigma_P^2 + \sigma^2)\right)$

$\sigma^2$$n-1$$\sigma_P^2 + \sigma^2$$n_A-1$$n_B-1$$\left({1\over n_A}+ {1\over n_B}\right) (\sigma_P^2 + \sigma^2)$$n_A+n_B-2$$Y$

На даний момент я думаю, що можна вирішити будь-яке рішення, запропоноване проблемою Берена Фішера, щоб вирішити вашу проблему.

Моя перша думка - це модель змішаних ефектів, але це вже обговорювалося, тому я більше не буду про це говорити.

Моя інша думка полягає в тому, що якщо теоретично можливо, ви могли б виміряти парні дані по всіх предметах, але через вартість, помилки або іншу причину у вас немає всіх пар, то ви могли б лікувати невимірний ефект для неспарених суб'єктів як відсутні дані та використовуйте такі інструменти, як алгоритм ЕМ або Множинна імпутація (відсутня навмання, здається розумною, якщо причина, за якою суб'єкт вимірювались лише за 1 обробку, не пов’язана з тим, яким буде їхній результат під час іншого лікування).

Можливо, навіть простіше просто встановити двовимірне нормальне до даних, використовуючи максимальну ймовірність (з врахуванням ймовірності, виходячи з наявних даних про кожного випробуваного), а потім зробити тест коефіцієнта ймовірності, порівнюючи розподіл із засобами, рівними проти різних засобів.

З моїх теоретичних занять минуло багато часу, тому я не знаю, як вони порівнюють по оптимальності.

можливо, змішане моделювання з пацієнтом, оскільки випадковий ефект може бути способом. При змішаному моделюванні кореляційна структура в парному випадку і часткові пропуски в непарному випадку можуть бути враховані.

Один із методів, запропонованих у Hani M. Samawi & Robert Vogel (Journal of Applied Statistics, 2013), складається із зваженої комбінації T-балів від незалежних та залежних вибірок таким чином, що нова оцінка T дорівнює

$T_o = \sqrt\gamma ( \frac {\mu_Y - \mu_X} {S_x^2/n_X + S_y^2/n_Y}) + \sqrt {(1-\gamma)} \frac {\mu_D} {S_D^2/n_D}$

$D$$\gamma$$\gamma$