Метод Найстрома для апроксимації ядра

Я читав про метод Nyström для апроксимації ядра низького рангу. Цей метод реалізований у scikit-learn [1] як метод проектування зразків даних до наближення низького рангу відображення функції ядра.

Наскільки мені відомо, зважаючи на навчальний набір та функцію ядра, він генерує апроксимацію низького рангу матриці ядра ядра , застосовуючи SVD до і . $\{x_i\}_{i=1}^n$ $n \times n$ $K$ $W$ $C$

$K = \left [ \begin{array}{cc} W & K_{21}^T \\ K_{21} & K_{22} \end{array} \right ]$ $C = \left [\begin{array}{cc} W \\ K_{21} \end{array}\right ]$ , $W \in \mathbb{R}^{l\times l}$

Однак я не розумію, як низьке раннє наближення матриці ядра може бути використане для проектування нових зразків у апроксимаційному просторі функції ядра . Знайдені мною документи (наприклад, [2]) не допомагають, бо вони мало дидактичні.

Також мені цікаво обчислювальна складність цього методу, як на етапах навчання, так і на етапах тестування.

[1] http://scikit-learn.org/stable/modules/kernel_approximation.html#nystroem-kernel-approx

[2] http://www.jmlr.org/papers/volume13/kumar12a/kumar12a.pdf

— Даніель Лопес
джерело

Давайте виведемо наближення Ністрьома таким чином, щоб зробити зрозумілішими відповіді на ваші запитання.

Основне припущення в Nyström полягає в тому, що функція ядра є рангом . (Дійсно, ми припускаємо, що це приблизно з рангу , але для простоти давайте просто зробимо вигляд, що це точно ранг на даний момент.) Це означає, що будь-яка матриця ядра має ранг не більше , і зокрема є рангом . Тому є ненульових власних значень, і ми можемо записати ейгендекомпозицію як $m$ $m$ $m$ $m$

K = [\begin{matrix} k (x_{1}, x_{1}) & \dots & k (x_{1}, x_{n}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k (x_{n}, x_{1}) & \dots & k (x_{n}, x_{n}) \end{matrix}],

$K = \begin{bmatrix} k(x_1, x_1) & \dots & k(x_1, x_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k(x_n, x_1) & \dots & k(x_n, x_n) \end{bmatrix} ,$

m

$m$

m

$m$

K

$K$

K = U Λ U^{T}

$K = U \Lambda U^T$ з власними векторами, збереженими в , форми , та власними значеннями, розташованими в , діагональною матрицею .

U

$U$

n \times m

$n \times m$

Λ

$\Lambda$

m \times m

$m \times m$

Отже, давайте підберемо елементів, як правило, рівномірно випадково, але можливо за іншими схемами - все, що має значення в цій спрощеній версії, полягає в тому, щоб був повноцінним. Як тільки ми це зробимо, просто відновіть точки, щоб ми закінчилися матрицею ядра в блоках: де ми оцінюємо кожен запис у (що становить ) та ( ), але не хочемо оцінювати жодних записів у . $m$ $K_{11}$

K = [\begin{matrix} K_{11} & K_{21}^{T} \\ K_{21} & K_{22} \end{matrix}],

$K = \begin{bmatrix} K_{11} & K_{21}^T \\ K_{21} & K_{22} \end{bmatrix} ,$

K_{11}

$K_{11}$

m \times m

$m \times m$

K_{21}

$K_{21}$

(n - m) \times m

$(n-m) \times m$

K_{22}

$K_{22}$

Тепер ми можемо розділити ейгендекомпозицію відповідно до цієї структури блоків: де - а - . Але зверніть увагу , що тепер ми маємо . Таким чином, ми можемо знайти та шляхом ейгендо складання відомої матриці .

\begin{aligned} K & = U Λ U^{T} \\ = [\begin{matrix} U_{1} \\ U_{2} \end{matrix}] Λ {[\begin{matrix} U_{1} \\ U_{2} \end{matrix}]}^{T} \\ = [\begin{matrix} U_{1} Λ U_{1}^{T} & U_{1} Λ U_{2}^{T} \\ U_{2} Λ U_{1}^{T} & U_{2} Λ U_{2}^{T} \end{matrix}], \end{aligned}

$\begin{align} K &= U \Lambda U^T \\&= \begin{bmatrix}U_1 \\ U_2\end{bmatrix} \Lambda \begin{bmatrix}U_1 \\ U_2\end{bmatrix}^T \\&= \begin{bmatrix} U_1 \Lambda U_1^T & U_1 \Lambda U_2^T \\ U_2 \Lambda U_1^T & U_2 \Lambda U_2^T \end{bmatrix} ,\end{align}$

U_{1}

$U_1$

m \times m

$m \times m$

U_{2}

$U_2$

(n - m) \times m

$(n-m) \times m$

K_{11} = U_{1} Λ U_{1}^{T}

$K_{11} = U_1 \Lambda U_1^T$

U_{1}

$U_1$

Λ

$\Lambda$

K_{11}

$K_{11}$

Ми також знаємо , що . Тут ми знаємо все в цьому рівнянні, окрім , тому ми можемо вирішити, для яких власних значень, що випливає: помножте право обидві сторони на щоб отримати Тепер у нас є все, що потрібно для оцінки : $K_{21} = U_2 \Lambda U_1^T$ $U_2$ $(\Lambda U_1^T)^{-1} = U_1 \Lambda^{-1}$

U_{2} = K_{21} U_{1} Λ^{- 1} .

$U_2 = K_{21} U_1 \Lambda^{-1} .$

K_{22}

$K_{22}$

\begin{aligned} K_{22} & = U_{2} Λ U_{2}^{T} \\ = (K_{21} U_{1} Λ^{- 1}) Λ {(K_{21} U_{1} Λ^{- 1})}^{T} \\ = K_{21} U_{1} (Λ^{- 1} Λ) Λ^{- 1} U_{1}^{T} K_{21}^{T} \\ = K_{21} U_{1} Λ^{- 1} U_{1}^{T} K_{21}^{T} \\ (*) & = K_{21} K_{11}^{- 1} K_{21}^{T} \\ (**) & = (K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}}) {(K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}})}^{T} . \end{aligned}

$\begin{align} K_{22} &= U_2 \Lambda U_2^T \\&= \left(K_{21} U_1 \Lambda^{-1}\right) \Lambda \left(K_{21} U_1 \Lambda^{-1}\right)^T \\&= K_{21} U_1 (\Lambda^{-1} \Lambda) \Lambda^{-1} U_1^T K_{21}^T \\&= K_{21} U_1 \Lambda^{-1} U_1^T K_{21}^T \\&= K_{21} K_{11}^{-1} K_{21}^T \tag{*} \\&= \left( K_{21} K_{11}^{-\frac12} \right) \left( K_{21} K_{11}^{-\frac12} \right)^T \tag{**} .\end{align}$

У (*) ми знайшли версію вбудовування Nyström, яку ви могли бачити просто як визначення. Це говорить нам про ефективні значення ядра, які ми вводимо для блоку . $K_{22}$

В (**) ми бачимо, що матриця функцій , яка є формою , відповідає цим імпутованим значенням ядра. Якщо ми використовуємо для точок, ми маємо набір -вимірних особливостей Ми можемо швидко перевірити, чи відповідає правильній матриці ядра: $K_{21} K_{11}^{-\frac12}$ $(n-m) \times m$ $K_{11}^{\frac12}$ $m$ $m$

Φ = [\begin{matrix} K_{11}^{\frac{1}{2}} \\ K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}] .

$\Phi = \begin{bmatrix} K_{11}^{\frac12} \\ K_{21} K_{11}^{-\frac12} \end{bmatrix} .$

Φ

$\Phi$

\begin{aligned} Φ Φ^{T} & = [\begin{matrix} K_{11}^{\frac{1}{2}} \\ K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}] {[\begin{matrix} K_{11}^{\frac{1}{2}} \\ K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}]}^{T} \\ = [\begin{matrix} K_{11}^{\frac{1}{2}} K_{11}^{\frac{1}{2}} & K_{11}^{\frac{1}{2}} K_{11}^{- \frac{1}{2}} K_{21}^{T} \\ K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} K_{11}^{\frac{1}{2}} & K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} K_{11}^{- \frac{1}{2}} K_{21}^{T} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} K_{11} & K_{21}^{T} \\ K_{21} & K_{21} K_{11}^{- 1} K_{21}^{T} \end{matrix}] \\ = K . \end{aligned}

$\begin{align} \Phi \Phi^T &= \begin{bmatrix} K_{11}^{\frac12} \\ K_{21} K_{11}^{-\frac12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} K_{11}^{\frac12} \\ K_{21} K_{11}^{-\frac12} \end{bmatrix}^T \\&=\begin{bmatrix} K_{11}^{\frac12} K_{11}^{\frac12} & K_{11}^{\frac12} K_{11}^{-\frac12} K_{21}^T \\ K_{21} K_{11}^{-\frac12} K_{11}^{\frac12} & K_{21} K_{11}^{-\frac12} K_{11}^{-\frac12} K_{21}^T \end{bmatrix} \\&=\begin{bmatrix} K_{11} & K_{21}^T \\ K_{21} & K_{21} K_{11}^{-1} K_{21}^T \end{bmatrix} \\&= K .\end{align}$

Отже, все, що нам потрібно зробити - це навчити нашу модель звичайного навчання з -вимірними особливостями . Це буде точно таким же (в припущенні , що ми зробили) в якості kernelized версії завдання навчання з . $m$ $\Phi$ $K$

Тепер для окремої точки даних функції в відповідають Для точки у розділі 2 вектор є лише відповідним рядком , так що укладання це дає нам - так погоджується на точки в розділі 2. Це також працює в розділі 1: там вектор є рядом , тому їх складання отримує , знову погоджуючись з $x$ $\Phi$

ϕ (x) = [\begin{matrix} k (x, x_{1}) & \dots & k (x, x_{m}) \end{matrix}] K_{11}^{- \frac{1}{2}} .

$\phi(x) = \begin{bmatrix} k(x, x_1) & \dots & k(x, x_m) \end{bmatrix} K_{11}^{-\frac12} .$

x

$x$

[\begin{matrix} k (x, x_{1}) & \dots & k (x, x_{m}) \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} k(x, x_1) & \dots & k(x, x_m) \end{bmatrix}$

K_{21}

$K_{21}$

K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}}

$K_{21} K_{11}^{-\frac12}$

ϕ (x)

$\phi(x)$

K_{11}

$K_{11}$

K_{11} K_{11}^{- \frac{1}{2}} = K_{11}^{\frac{1}{2}}

$K_{11} K_{11}^{-\frac12} = K_{11}^{\frac12}$

Φ

$\Phi$ . Отже ... це все-таки вірно для тестового пункту часу час навчання . Ви просто зробите те саме: Оскільки ми припустили, що ядро є рангом , матриця також займає ранг , а реконструкція все ще є точно такою ж логікою, що і для .

x_{new}

$x_\text{new}$

Φ_{test} = K_{test, 1} K_{11}^{- \frac{1}{2}} .

$\Phi_\text{test} = K_{\text{test},1} K_{11}^{-\frac12} .$

m

$m$

[\begin{matrix} K_{train} & K_{train,test} \\ K_{test,train} & K_{test} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}K_{\text{train}} & K_{\text{train,test}} \\ K_{\text{test,train}} & K_{\text{test}} \end{bmatrix}$

m

$m$

K_{test}

$K_\text{test}$

K_{22}

$K_{22}$

Вище ми припускали, що матриця ядра була точно рангом . Зазвичай це не буде так; для ядра Гаусса, наприклад, завжди є рангом , але останні власні значення зазвичай випадають досить швидко, тому воно буде близьким до матриці рангу , і наших реконструкцій або будуть близькі до справжніх значень, але не зовсім однакові. Вони будуть кращими реконструкціями, чим ближче власне простір дістається до

K

$K$

m

$m$

K

$K$

n

$n$

m

$m$

K_{21}

$K_{21}$

K_{test, 1}

$K_{\text{test},1}$

K_{11}

$K_{11}$

K

$K$ загалом, саме тому вибір правильних точок є важливим на практиці.

m

$m$

Зауважте також, що якщо має будь-які нульові власні значення, ви можете замінити інверси на псевдоінверси, і все ще працює; ви просто заміните у реконструкції на . $K_{11}$ $K_{21}$ $K_{21} K_{11}^\dagger K_{11}$

Ви можете використовувати SVD замість eigendecomposition, якщо хочете; оскільки - psd, вони те саме, але SVD може бути трохи більш стійким до незначної чисельної помилки в матриці ядра тощо. Отже, це робить scikit-learn. Фактична реалізація scikit-learn робить це, хоча він використовує у зворотному, а не псевдоінверсному. $K$ $\max(\lambda_i, 10^{-12})$

— Дугал
джерело

Коли додатний напівдефініт, ейгендекомпозиція збігається з SVD. scikit-learn, оскільки через числову помилку може бути трохи не-psd, замість цього обчислює і використовує , так що функції стають . Це те саме, в основному.

A

$A$

U Λ U^{T}

$U \Lambda U^T$

A

$A$

U Σ V^{T}

$U \Sigma V^T$

A^{- \frac{1}{2}} = V Σ^{- \frac{1}{2}} V^{T}

$A^{-\frac12} = V \Sigma^{-\frac12} V^T$

A

$A$

A V Σ^{- \frac{1}{2}} V^{T} = U Σ V^{T} V Σ^{- \frac{1}{2}} V^{T} = U Σ^{\frac{1}{2}} V^{T} = A^{\frac{1}{2}}

$A V \Sigma^{-\frac12} V^T = U \Sigma V^T V \Sigma^{-\frac12} V^T = U \Sigma^{\frac12} V^T = A^{\frac12}$

— Дугал

Ну, вибачте, так вони використовують . Це насправді не має значення з , але оскільки вони виконують перенесення функцій для кінцевому підсумку як .

U Σ^{- \frac{1}{2}} V^{T} = K^{- \frac{1}{2}}

$U \Sigma^{-\frac12} V^T = K^{-\frac12}$

U \approx V

$U \approx V$

K_{11}

$K_{11}$

U Σ V^{T} V Σ^{- \frac{1}{2}} U^{T} = U Σ^{\frac{1}{2}} U^{T}

$U\Sigma V^T V \Sigma^{-\frac12} U^T = U \Sigma^{\frac12} U^T$

— Дугал

Підвищення діагональної матриці до потужності - це те саме, що підняття кожного елемента до потужності, а . У нумерованій нотації трансляції елементарне множення на вектор є таким самим, як право множення на діагональну матрицю. Крім того , що використання коду означає , що я дзвоню .

x^{- \frac{1}{2}} = 1 / \sqrt{x}

$x^{-\frac12} = 1 / \sqrt x$

V

$V$

V^{T}

$V^T$

— Дугал

Ну, вибачте, це повинно бути до (у впорядкуванні, щоб вони були базовими точками Nyström). Виправимо.

x_{m}

$x_m$

— Дугал

x

$x$ - точка даних, її параметр тут не вказаний. може бути в , або це може бути рядок або щось таке; просто сказати , що , так що . Тоді просто накопичує для різних входів.

x

$x$

R^{d}

$\mathbb R^d$

x \in X

$x \in \mathcal X$

k : X \times X \to R

$k : \mathcal X \times \mathcal X \to \mathbb R$

ϕ : X \to R^{m}

$\phi : \mathcal X \to \mathbb R^m$

k (x, x_{i})

$k(x, x_i)$

m

$m$

— Дугал