Гармонічне середнє мінімізує суму відносних помилок у квадраті

Я шукаю посилання, де доведено, що гармонійне значення

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

мінімізує (в ) суму відносних помилок у квадраті $z$

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— Мартін Ван дер Лінден
джерело

Відповіді:

Для чого потрібна довідка? Це проста проблема обчислення: Для проблеми, яку ви сформулювали, щоб вона мала сенс, ми повинні припустити, що всі . Потім визначте функцію Потім обчисліть похідну відносно : тоді розв’язування рівняння дає розв’язку. Тепер, звичайно, ми повинні перевірити, чи справді це мінімум, для цього обчислимо другу похідну: для останньої нерівності, яку ми використали, нарешті, що всі $x_i > 0$

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$ . Без цього припущення ми могли б дійсно ризикувати, що ми знайшли максимум!

Щодо посилання, можливо, https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean або https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean або посилання на них.

— kjetil b halvorsen
джерело

Дякую за вашу відповідь. Довідка заощадила б мені трохи місця. Я хочу навести результат як лему в інше доказ, без необхідності включати самодостатнє доказ леми.

— Мартін Ван дер Лінден

Важко знайти чітку посилання, її вважають базовою, щоб заслужити її! Хіба ви не можете просто сказати, що доказ - це основна оцінка?

— kjetil b halvorsen

Настільки ж базовим, як завжди, я завжди вважаю за краще посилатися. Але я розумію, що в основних результатах важко знайти посилання, і залишати доказ читачеві - це однозначно варіант.

— Мартін Ван дер Лінден

Тимчасовий поза тематичний пінг: розгляньте голосування за синаніму spearman- > spearman-rho тут stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonyms . Спасибі

— амеба каже, що поверніть Моніку

Ви можете зазначити, що це найважча регресія найменших квадратів з вагами . $1/x_i$

Щоб встановити зв'язок із посиланнями, поверніться до стандартної позначення, в якій ви прагнете знайти який мінімізує $\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

Це модель з єдиним постійним регресором і матрицею ваг

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

Я перейменував " " на " " ("відповідь"), а параметр, який слід оцінити, замість . Ваги - . Потрібно, щоб вони всі перевищували . Рішення є $x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED .

Коментарі

Цей же аналіз стосується будь-яких позитивних наборів ваг, забезпечуючи узагальнення гармонічного середнього та корисний спосіб його характеристики.
Коли, як у контрольованому експерименті, на розглядають як фіксовану (а не випадкову), механізм зважених найменших квадратів забезпечує довірчі інтервали та інтервали прогнозування тощо . Іншими словами, подання задачі на цю установку автоматично дає вам змогу оцінити точність середньої гармоніки. $x_i$
Перегляд середньої гармоніки як розв'язання зваженої проблеми забезпечує розуміння її природи і, особливо, її чутливості до даних. Тепер ясно , що найбільш важливими факторами є ті , з найменшими значеннями --І їхню соціальну значимість була визначена кількісно з допомогою ваг матриці . $x_i$ $W$

Довідково

Дуглас К. Монтгомері, Елізабет А. Пек та Г. Джеффрі Вінінг, вступ до лінійного регресійного аналізу. П'яте видання. Дж. Вілі, 2012. Розділ 5.5.2.

— дзижчати
джерело