Доведення того, що якщо існує вищий момент, то існує і нижчий момент

-й момент випадкової величини є кінцевим , якщо $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Я намагаюся показати, що для будь-якого натурального цілого , тоді -й момент також є кінцевим. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function

— ніна
джерело

Це домашнє завдання? Якщо так, що ви пробували поки що? Крім того, я намагався зробити ваше запитання більш зрозумілим, будь ласка, повідомте мене, якщо я помилився.

— Gschneider

Я читав підручник із Біллінгслі та шукав Інтернет, але точних доказів не існує. Я знайшов лише підказку, можливо, нерівність Дженсена може бути використана.

— nona

Розгляньте перезаписякі подивіться, чи потрапить у вас де-небудь.

| X^{r} |

$|X^r|$

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$

— Gschneider

Існує різниця між моментом, що існує, і кінцевим . Зокрема, момент може існувати, але бути нескінченним. Термінологія, з якою ви знайомитесь, трохи неточна. У будь-якому випадку це стандартний результат про пробіли ; неправда, що "точних доказів не існує". :)

L_{p}

$L_p$

— кардинал

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

— СтасК
джерело

Чудово. Ви також можете довести це за допомогою нерівності Дженсена.

— Стефан Лоран

(+1) Мені це подобається, тому що він покладається лише на основні властивості очікування, а саме на монотонність. Якщо хтось переживає, що робити з правою стороною, вони можуть зазначити, що . Якщо ви віддаєте перевагу додатку Дженсена, вони можуть записати і зазначити, що .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

— кардинал

@cardinal: (+1) Я віддаю перевагу вашій нерівності, оскільки вона безпосередньо передбачає ...

| X |^{r}

$|X|^r$

— Сіань