Нормально розподілені помилки та центральна гранична теорема

У Вступній економетрії Вулдріджа є цитата:

Аргумент, що виправдовує нормальний розподіл помилок, зазвичай працює приблизно так: тому що $u$ - це сукупність безлічі різних спостережуваних факторів, що впливають $y$, можна зробити висновок про центральну граничну теорему, щоб зробити висновок про це $u$ має приблизний нормальний розподіл.

Ця цитата стосується одного з припущень лінійної моделі, а саме:

$u \sim N(μ, σ^2)$

де - термін помилки в моделі населення.$u$

Зараз, наскільки я знаю, теорема про центральну межу говорить, що розподіл

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(де - середні значення випадкових вибірок, узятих з будь-якої сукупності із середнім та дисперсією )$\overline{Y_i}$$μ$$σ^2$

наближається до стандартної звичайної змінної як .$n \rightarrow \infty$

Питання:

Допоможіть мені зрозуміти, як означає асимптотична нормальність$Z_i$$u \sim N(μ, σ^2)$

Це може бути краще оцінено, виражаючи результат CLT у вигляді сум iid випадкових величин. Ми маємо

$$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$$

Помножте коефіцієнт на і використовуйте той факт, що для отримання$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Var(cX) = c^2 Var(X)$

$$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Тепер додайте в LHS і використовуйте той факт, що для отримання$\mu$$\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

$$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$$

Нарешті, помножте на і скористайтеся двома наведеними вище результатами, щоб побачити це$n$

$$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$$

І що це стосується твердження Вулдріджа? Ну, якщо помилка є сумою багатьох iid випадкових змінних, вона буде приблизно нормально розподілена, як тільки що бачили. Але тут виникає проблема, а саме те, що спостережувані фактори не обов'язково будуть ідентично розподілені, і вони можуть бути навіть не незалежними!

Тим не менш, CLT було успішно розширено до незалежних не однаково розподілених випадкових величин і навіть випадків легкої залежності при деяких додаткових умовах регулярності. Це, по суті, умови, які гарантують, що жоден термін у сумі не чинить непропорційний вплив на асимптотичний розподіл, див. Також сторінку Вікіпедії на CLT . Звичайно, вам не потрібно знати ці результати; Метою Вулдріджа є лише інтуїція.

Сподіваюсь, це допомагає.