Якщо

Я натрапив на доказ одного з властивостей моделі ARCH, який говорить про те, що якщо , то { X t } є нерухомим iff ∑ p i = 1 b i < 1, де модель ARCH:$\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

Основна ідея доказу - показати, що можна записати як процес AR (p), і якщо ∑ p i = 1 b i < 1 вірно, то всі корені характерного многочлена лежать поза одиничним колом і отже, { X 2 t } нерухомий. Потім йдеться про те, що отже { X t } є нерухомим. Як це випливає?$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

З даного розділу я розумію, як ви можете бачити, що стаціонарність передбачає стаціонарність X t, але насправді це передбачає лише постійну дисперсію X t .$X^2_t$$X_t$ $X_t$

Автори цього доказу використовували стаціонарність для завершення аргументу, який вони розпочали раніше, дивлячись на безумовні моменти X $X^2_t$$X_t$

Нагадаємо, умови стаціонарності порядок:$2^{nd}$

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

$E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

$X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

$X^2_{t}$$AR(p)$

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ $\Sigma b_i<1$ $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$