Парадокс середнього значення - як це називається?

У мене є набір даних. Скажіть спостережень та змінних:$10$$3$

obs  A   B   C
1    0   0   1
2    0   1   0
3    1   0   1
4    1   1   0
5    1   0   1
6    1   0   0
7    1   1   0
8    0   0   1
9    0   1   1
10   0   1   1

Скажіть, що це покупців, які купили ( ) чи ні ( ) у кожній категорії . Там є , тому ці покупців в середньому купують в категорії товарів.16 10 $10$10A, B, C$16$$10$$1.6$

Зверніть увагу, що клієнти можуть купувати більше, ніж один, A, B і C.

Якщо я дивлюся лише на тих, хто купує A, є покупців, які купили категорій товарів, тож це в середньому .9 $5$$9$$1.8$

Bце знову, або .$9/5$$1.8$

Cстановить$10/6 = 1.67.$

Усі вони вище$1.6.$

що здається дивним. Я розумію, але потрібно пояснити це маркетингу на наступному тижні, і тому мені потрібна допомога!

Як називається ця річ?

Я знаю, що це не парадокс Сімпсона. Для мене це логічно схоже на проблему Монті Холла та умовну ймовірність.

Середнє значення для кожної підкатегорії може бути вище загального середнього, якщо підкатегорії перекриваються у великих клієнтів.

Простий приклад для отримання інтуїції:

• Нехай - це показник, чи фізична особа придбала товар у категорії А.$A$
• Нехай - показник, чи фізична особа придбала товар у категорії В.$B$
• Нехай - кількість придбаних предметів.$X = A + B$

Набір індивідів, де є істинним, перекриває набір людей, де є правдою. Вони НЕ непересічні набори.$A$$B$

Тоді а іE [ X ∣ A ] = 1,5 E [ X ∣ B ] = $\operatorname{E}[X] \approx 1.33$$\operatorname{E}[X \mid A] = 1.5$$\operatorname{E}[X \mid B] = 1.5$

Ствердження, яке було б істинним:

Ви не можете просто обчислити ім'я оскільки множини і перекриваються, вираз удвічі рахує особу хто купує і товар і !A B A $P(A)\operatorname{E}[X\mid A] + P(B)\operatorname{E}[X\mid B]$$A$$B$$A$$B$

Назва для ілюзії / парадоксальності?

Я б заперечував, що це пов'язано з парадоксами більшості ілюзій у соціальних мережах.

У вас може бути єдиний чувак, який всіх / друзів всіх. Ця людина може бути одним з мільйона в цілому, але він буде одним з друзів кожної людини .$k$

Аналогічно, у вас є 1 з 3, які купують обидві категорії A і B. Але в будь-якій категорії A або B один із 2 покупців - суперпокупець.

Крайній випадок:

Створимо наборів лото-квитків. Кожен комплект включає два квитки: програючий квиток та виграшний квиток на джекпот.S i$n$$S_i$$i$

Середній виграш у кожному наборі тоді де - джекпот. Середнє значення кожної категорії на ШЛЯХ вище середнього виграшу за квиток в цілому .$S_i$ J$\frac{J}{2}$$J$$\frac{J}{n+1}$

Це та сама концептуальна динаміка, що і у випадку продажу. Кожен набір включає в себе квиток на джекпот так само, як кожна категорія A, B або C включає великих покупців.$S_i$

Моя суть полягає в тому, що інтуїція, заснована на розрізнених множинах, повний розділ простору вибірки не переходить до ряду наборів, що перекриваються . Якщо ви погоджуєтесь із категоріями, що перетинаються, кожна категорія може бути вище середнього.

Якщо ви розділяєте пробний простір та умову на непересічні набори, то категорії мають у середньому до загальної середньої величини, але це не вірно для наборів, що перекриваються.

Я б назвав це парадоксом розміру сім'ї чи чимось подібним

Припустимо, для простого прикладу, у кожного був один партнер та кількість дітей, розподілених Пуассоном із параметром :$2$

• Середня кількість дітей на людину становила б$2$
• Середня кількість дітей на людину з дітьми буде$\frac{2}{1-e^{-2}} \approx 2.313$
• Середній розмір групи братів та сестер для кожної особи (рахуючи їх братів і сестер та самих себе) буде$3$

Реальні демографічні та опитувальні номери дають різні цифри, але схожі зразки

Очевидний парадокс полягає в тому, що середній розмір окремих груп братів та сестер більший, ніж середня кількість дітей на сім’ю; при стабільній динаміці населення люди, як правило, мають менше дітей в середньому, ніж їх батьки

Пояснення полягає в тому, чи приймається середнє значення для батьків та родин чи над братами та сестрами: для багатодітних сімей застосовуються різні ваги. У вашому прикладі є різниця між ваговою вагою для окремих осіб або за покупками; ваші умовні середні показники підштовхуються тим фактом, що ви обумовлюєте певну покупку.

Інші відповіді переосмислюють те, що відбувається. Припустимо, є один товар і два покупці. Один купував товар (один раз), а один - ні. Середня кількість придбаних товарів становить 0,5, але якщо дивитися лише на замовника, який придбав товар, середній піднімається до 1.

Мені це не здається парадоксальним чи контрінтуїтивним; умова на придбання товару, як правило, підвищить середню кількість придбаних товарів.

Хіба це не просто «середня середня величина» плутанини (наприклад, попереднє запитання про зміну ставок ) у маскуванні? Здається, ваша спокуса полягає в тому, що середні середні показники повинні дорівнювати до середнього показника чисельності, але це буде рідко.

У класичному «середньому середньому показнику» хтось знаходить середнє число N взаємовиключних підмножин, а потім невміло оцінюється, що ці значення не є середніми для середнього населення. Єдиний спосіб, коли цей середній показник працює в середньому, це якщо ваші підмножини, що не перекриваються, мають однаковий розмір. В іншому випадку потрібно взяти середньозважений показник.

Ваша проблема стає складнішою за цю традиційну середню плутанину середніх значень, маючи перекриття підмножини, але мені здається, що це просто класична помилка з поворотом. З підгрупами, що перекриваються, ще важче закінчити середні підпробові середні показники, які в середньому відповідають середньому числу населення.

У вашому прикладі, оскільки користувачі, які з’являються у кількох підпроборах (і тому купували багато речей), збільшать ці середні показники. В основному ви рахуєте кожного великого споживача кілька разів, тоді як з ощадливими людьми, які купують лише один предмет, стикаються лише один раз, тому ви ухиляєтесь до більших цінностей. Ось чому ваші конкретні підмножини мають вище середнього значення, але я думаю, що це все ще лише проблема "середнього значення середніх".

Ви також можете сконструювати з ваших даних всі види інших підмножин, де середній підримок приймає різні значення. Наприклад, візьмемо підмножини, дещо схожі на ваші підмножини. Якщо взяти підмножину людей, які не купували А, ви отримуєте в середньому 7/5 = 1,4 предмета. З підмножиною, яка не купила B, ви також отримуєте в середньому 1,4 предмета. Ті, хто не купував С, купували в середньому 1,5 речі. Це все нижче середнього чисельності населення на 1,6 предмета / замовника. Враховуючи правильний набір даних і правильну колекцію підмножин, ви можете закінчити перекриття підмножин, середнє значення яких до середнього рівня населення; однак це було б нечасто у звичайних програмах.

Це тільки я, чи слово середнє зараз здається дивним після стількох повторень ... Сподіваюся, моя відповідь виявилася корисною, і вибачте, якщо я зіпсував вам середнє слово!

Оскільки питання полягає в тому, що " я це розумію, але мені потрібно пояснити це маркетингу ", ОП видається занепокоєним тим, як мирянин буде інтерпретувати ці факти - (не чи факти є правдивими, чи як показати, що вони є). Питання посилається на 10 категорій товарів (AJ), то як щодо цього прикладу:

[на зустрічі з маркетинговою групою]
ОП : Отже, як ви бачите тут , клієнти, які купують A, B і C, - цінніші за середні.
Леман : Зачекайте ?! Як кожен може бути вище середнього?
ОП : Добре питання. Цей слайд орієнтований на клієнтів A, B і C, але є й інші, малоефективні групи, які не відображаються. Наприклад, клієнти категорій D і G коштують приблизно половину в середньому.

Це повинно вгамувати внутрішній bs-сигнал про "все вище середнього".

Тут ігноруйте інші відповіді. Це насправді зовсім не парадокс. Справжня проблема, яку тут, мабуть, ігнорують усі, - це те, що ви помиляєтесь, на яку вірогідність насправді дивитесь. Насправді є дві абсолютно різні середні показники та статистичні дані, які обидва мають власне використання та інтерпретацію у запропонованому вами прикладі (маркетинг)!

По-перше, це середня кількість товарів, придбаних на одного клієнта. Так в середньому один клієнт купує 1,6 предмета. Звичайно, замовник не може не 0,6 продукту (якщо припустити, що це не щось на зразок рису чи зерна, пов'язане з ним постійне вимірювання).

По-друге, є середня кількість покупців, які купують певний товар. Звучить дивно правильно? Так що в середньому продукт має 5,33333333 ... покупці купують його. Однак це інакше. Тут ми описуємо не кількість придбаних товарів (їх всього три!), А кількість людей, які фактично купують цей продукт.

Подумайте про ці два значення таким чином: Що б представляли ці два значення, якби був лише один клієнт або лише один продукт? Зрештою, середнє значення однієї точки даних - це саме те, що задано точкою даних.

Або ще краще, подумайте про графік так, ніби він дає вам доларові суми, витрачені на придбання товару. Очевидно, що середня сума, витрачена окремим клієнтом, буде набагато меншою, ніж сума грошей, вироблених в середньому продуктом, що постачається великою корпорацією (або навіть просто малим бізнесом). Я впевнений, що ви можете придумати хороші способи використання обох цінностей, обговорюючи добробут компанії.

Коли ти йдеш пояснювати це маркетинговим працівникам, поясни це їм так само, як я вже сказав. Це не парадокс. Це просто зовсім інша статистика. Єдине питання тут було помітити, що насправді існують два різні способи зчитування діаграми (тобто кількість людей, які купують за продукт порівняно з кількістю товарів, придбаних на людину).

tl; dr. Перше, що ви описали, - це середня сума, яку окремий клієнт готовий витратити, купуючи вашу продукцію. Другий - середній попит населення на дану продукцію. Я впевнений, що зараз ви можете зрозуміти, чому обоє, безумовно, не те саме. Порівнюючи їх як такі, просто ви дасте інформацію про сміття.

EDIT

Здається, питання насправді задає питання про середні гроші, витрачені клієнтами, які купують якийсь товар a, b або c. Добре. Це насправді лише помилка в розрахунках. Я б не назвав це парадоксом. Це справді просто тонкий флюб.

Подивіться на свої стовпці. Між стовпцями є люди, якими ділиться. Припустимо, ви зробили відповідну середньозважену середню. Ви ще двічі додаєте людей. Це означає, що середній показник міститиме зайвих людей із значенням, більшим або рівним 2. Тепер, який був ваш середній показник? Це було 1,6! По суті ваш середній показник виглядає приблизно так:

$\frac {\sum_{i = 0}^{n} valueOfPerson_i*valueOfPerson_i} {n}$

Це, безумовно, не правильна формула. Це середньозважене значення, хоча припускаючи взаємну ексклюзивність, саме так ви б налаштувались, щоб отримати справжнє середнє у вашій ситуації.

$\frac {\sum_{i = 0}^{n} numberOfPeopleBuying_i*averageSpentByPersonBuying_i} {n}$

У будь-якому випадку ви отримаєте заплутану середню. Однією помилкою було ігнорування необхідності середньозваженого середнього показника, оскільки одна категорія має більшу "вагу" щодо середнього. Це як щільність. Одне значення щільніше у людей представляє. Інше питання - це додавання дублікатів, яке буде спотворювати середнє значення. Я не називаю жодного з цих "парадоксів". Коли я побачив, що ти робиш, мені здалося очевидним, чому це не вийде. Середньозважений рівень дещо сам собою пояснює свою потребу, і я думаю, що тепер, коли ви бачите, що ви додавали значення кілька разів ... це не може працювати. Ви в основному взяли середнє значення квадратів їх значень.