Спростіть суму комбінацій з однаковими n, усіма можливими значеннями k

Чи є спосіб спростити це рівняння?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Або загалом,

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— Ідр
джерело

Магазин морозива виготовляє не ароматизоване морозиво, а потім додає в один або кілька з 5 смакових концентратів (ваніль, шоколад, фрукти, м'ята, джамока), щоб створити різні морозиво, доступні для продажу в магазині. Тож кількість різних ароматизаторів становить

. Спробуйте обчислити кількість ароматів вручну. Для додаткового кредиту визначте магазин.

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$

— Діліп Сарват

Відповіді:

Побачити

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

що говорить

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Ви можете довести це, використовуючи біноміальну теорему, де . $x=y=1$

Тепер, оскільки для будь-якого, випливає, що $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

У вашому випадку , тож відповідь - . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— Макрос
джерело

Спасибі. Я намагався розібратися в усіх можливих наборах функцій введення для регресії, тому мій розум починається зі статистики, але я вважаю, що це питання не є статистикою як такою.

— Ідр

Без проблем. Будь ласка, розгляньте можливість подання заявки та / або прийняття відповідей, які ви вважаєте корисними :)

— Макрос

Звичайно. Також я вважаю, що ваші я повинен бути к.

— Ідр

ти маєш рацію - виправлено.

— Макрос

Простий спосіб це зрозуміти: ви візьмете кожен елемент (1), чи ні (0). Таким чином, ви можете представляти все двійкове число з n бітами: 2 ^ n. І це дорівнює всій комбінації з одним вилученим елементом, плюс всі комбінації з 2 вилученими елементами і так далі .. = сума C (k / N).

— Snicolas

Домашнє завдання?

Підказка:

Пригадайте біноміальну теорему:

(х + у)^{н} = \sum_{к = 0}^{н} (\binom{н}{к}) х^{к} у^{н - к}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

$x^ky^{n-k}$

— Ерік
джерело