Як встановити набір даних до розподілу Парето в R?

Маємо, скажімо, такі дані:

8232302  684531  116857   89724   82267   75988   63871   
  23718    1696     436     439     248     235

Хочете простий спосіб пристосувати це (та кілька інших наборів даних) до дистрибутива Pareto. В ідеалі він виводить би відповідні теоретичні значення, а не ідеально параметри.

r pareto-distribution

— Фелікс
джерело

cran.r-project.org/web/packages/fitdistrplus/fitdistrplus.pdf

— Stéphane Laurent

Що призначено під «узгодження теоретичних значень»? Очікування статистики замовлень з огляду на параметри? Або щось інше?

— Glen_b -Встановіть Моніку

Ну, якщо у вас є зразок з розподілу парето з параметрами і (де - нижній граничний параметр, а - параметр форми), ймовірність журналу цього зразка: $X_1, ..., X_n$ $m>0$ $\alpha>0$ $m$ $\alpha$

n \log (α) + n α \log (m) - (α + 1) \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i})

$n \log(\alpha) + n \alpha \log(m) - (\alpha+1) \sum_{i=1}^{n} \log(X_i)$

це монотонно зростає в , тому максимізатор - найбільше значення, що відповідає спостережуваним даним. Оскільки параметр визначає нижню межу опори для розподілу Парето, оптимальним є $m$ $m$

\hat{m} = min_{i} X_{i}

$\hat{m} = \min_{i} X_i$

що не залежить від . Далі, використовуючи звичайні підрахунки, MLE для має задовольняти $\alpha$ $\alpha$

\frac{n}{α} + n \log (\hat{m}) - \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) = 0

$\frac{n}{\alpha} + n \log( \hat{m} ) - \sum_{i=1}^{n} \log(X_i) = 0$

деяка проста алгебра говорить нам, що MLE є $\alpha$

\hat{α} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i} / \hat{m})}

$\hat{\alpha} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \log(X_i/\hat{m})}$

У багатьох важливих сенсах (наприклад, оптимальна асимптотична ефективність завдяки досягненню нижньої межі Крамера-Рао) це найкращий спосіб пристосування даних до розподілу Парето. R нижче код обчислює MLE для заданого набору даних, X.

pareto.MLE <- function(X)
{
   n <- length(X)
   m <- min(X)
   a <- n/sum(log(X)-log(m))
   return( c(m,a) ) 
}

# example. 
library(VGAM)
set.seed(1)
z = rpareto(1000, 1, 5) 
pareto.MLE(z)
[1] 1.000014 5.065213

Edit: На основі коментарів по @cardinal і я нижче, ми можемо також відзначити , що є зворотною вибірки середнього значення «s, що трапиться мати експоненціальне розподіл. Тому, якщо ми маємо доступ до програмного забезпечення, яке може відповідати експоненціальному розподілу (що скоріше, оскільки це, мабуть, виникає у багатьох статистичних проблемах), то встановлення розподілу Парето може бути здійснено шляхом трансформації набору даних таким чином і підгонки його до експоненціального розподілу за трансформованою шкалою. $\hat{\alpha}$ $\log(X_i /\hat{m})$

— Макрос
джерело

(+1) Ми можемо написати речі трохи більш сугестивно, зазначивши, що

розподілено експоненціально зі швидкістю

. Звідси і з інваріантності ОМПА при перетворенні укладає відразу , що

, де замінить

на

в останньому виразі. Це також натякає на те, як ми можемо використовувати стандартне програмне забезпечення для пристосування Pareto, навіть якщо явної опції немає.

Y_{i} = \log (X_{i} / m)

$Y_i = \log(X_i/m)$

α

$\alpha$

\hat{α} = 1 / \bar{Y}

$\hat\alpha = 1/\bar Y$

m

$m$

\hat{m}

$\hat m$

— кардинал

\hat{α}

$\hat{\alpha}$

\log (X_{i} / \hat{m})

$\log(X_i/\hat{m})$

Привіт, Макрос. Я намагався зробити те, що проблема оцінки параметрів Парето може бути (по суті) зведена до оцінки швидкості експоненціалу: Через перетворення вище ми можемо перетворити наші дані та проблеми в (можливо) більш знайомий і негайно витягнути відповідь (якщо припустити, що ми або наше програмне забезпечення вже знаємо, що робити зі зразком експоненцій).

— кардинал

Як я можу виміряти помилку такого типу пристосування?

— emanuele

@emanuele, приблизна дисперсія MLE - це обернена інформаційна матриця рибалки, яка вимагає від вас обчислити принаймні одну похідну від вірогідності журналу. Або ви можете скористатись певним перекомпонуванням завантаження для оцінки стандартної помилки.

— Макрос

Ви можете використовувати fitdistфункцію, надану в fitdistrplusпакеті:

library(MASS)
library(fitdistrplus)
library(actuar)

# suppose data is in dataPar list
fp <- fitdist(dataPar, "pareto", start=list(shape = 1, scale = 500))
#the mle parameters will be stored in fp$estimate

— акашрайкн
джерело

Це повинно бути library(fitdistrplus)?

— Шон

@Sean так, відповідно редагуючи відповідь

— Кевін Л Кіс

Зауважте, що library(actuar)для цього потрібно заклик до .

— jsta

Що в цьому випадку представляє fp $ оцінка ["форма"]? Це, можливо, орієнтовна альфа? Або бета-версія?

— Альберт Гендрікс