Ефективна вибірка порогового розподілу бета-версії

Як я маю ефективну вибірку з наступного розподілу?

x \sim B (α, β), x > k

$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$

Якщо не надто великий, то вибір вибірки відхилення може бути найкращим підходом, але я не впевнений, як діяти, коли великий. Можливо, є якесь асимптотичне наближення, яке можна застосувати? $k$ $k$

random-generation beta-distribution truncation

— user1502040
джерело

Не однозначно зрозуміло, що ви маєте намір там "

". Ви маєте на увазі усічений бета-розподіл (усічений ліворуч на

x \sim B (α, β), x > k

$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$

k

$k$

— Glen_b -Встановити Моніку

@Glen_b точно.

— user1502040

Для обох параметрів форми, більших за 1, бета-розподіл є ввігнутим, тому експоненціальні конверти можуть використовуватися для відбору проб відхилення. Що стосується генерації безнадійних бета-змінних, то ви вже відбираєте вибірку з усічених експоненціальних розподілів (що легко зробити), слід адаптувати цей метод просто.

— Scortchi

Відповіді:

Найпростіший і найзагальніший спосіб, який стосується будь-якого усіченого розподілу (його можна також узагальнити до усічення з обох сторін), - це використовувати вибір оберненого перетворення . Якщо - сукупний розподіл відсотків, то встановіть і візьміть $F$ $p_0 = F(k)$

U \sim U (p_{0}, 1) X = F^{- 1} (U)

$U \sim \mathcal{U}(p_0, 1) \\ X = F^{-1}(U)$

де - зразок з урізаний ліворуч при . Функція квантиль відображатиме ймовірності в зразках з . Оскільки ми приймаємо значення лише з "області", яка відповідає значенням розподілу бета-версії з неврізаної області, ви будете вибирати лише ці значення. $X$ $F$ $k$ $F^{-1}$ $F$ $U$

Цей спосіб проілюстровано на зображенні нижче, де усічена область позначена сірим прямокутником, точки червоного кольору витягуються з розподілу і потім перетворюються на зразки . $\mathcal{U}(p_0, 1)$ $\mathcal{B}(2, 8)$

— Тім
джерело

(+1) Варто зазначити, що квантильну функцію не так легко оцінити.

— Scortchi

@Scortchi Якщо або a або b дорівнює 1 або принаймні ціле число, існує не так вже й погана форма (див. Вікіпедію ). І в Python є scipy.special.betaincдля зворотного, а в R є pbeta.

— Грайфер

@Graipher: Я мав би сказати "дешево, взагалі" - краще, якщо це можливо, уникати Ньютона-Рафсона чи інших ітеративних рішень. (BTW це qbetaдля квантильної функції в Р.)

— Scortchi - Відновити Моніку

@Scortchi ви праві, але в більшості випадків для сучасних комп’ютерів це не повинно бути головною проблемою. Я також рекомендую такий підхід, оскільки він прямо доступний у більшості програмного забезпечення і може бути узагальнений до будь-якого усіченого дистрибутива, лише якщо у нього є доступ до кількісної функції.

— Тім

k

$k$

k

$k$

$\alpha$ $\beta$ $k_1<k_2$

f (x) = \frac{x^{(α - 1)} (1 - x)^{(β - 1)}}{B (k 2, α, β) - B (k_{1}, α, β)}

$f(x) = \frac{x^{(\alpha-1)}(1-x)^{(\beta-1)}}{\operatorname{B}(k2, \alpha, \beta) - \operatorname{B}(k_1, \alpha, \beta)}$

$x_\mathrm{L}$ $x_\mathrm{U}$ $\alpha,\beta>1$

g (x) = c \cdot λ e^{- λ (x - x_{L})}

$g(x) = c \cdot \lambda \mathrm{e}^{-\lambda (x-x_\mathrm{L})}$

$\lambda$

- λ = \frac{a - 1}{x} - \frac{b - 1}{1 - x}

$-\lambda = \frac{a-1}{x} - \frac{b-1}{1-x}$

c

$c$

c = \frac{f (x)}{λ e^{- λ (x - x_{L})}}

$c = \frac{f(x)}{\lambda\mathrm{e}^{-\lambda(x-x_\mathrm{L})}}$

A = c \cdot (1 - e^{- λ (x_{U} - x_{L})})

$A = c \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda(x_\mathrm{U}-x_\mathrm{L})})$

x

$x$

λ

$\lambda$

c

$c$

\begin{aligned} Q (x) = & \frac{x^{a} (1 - x)^{b}}{(a + b - 2) x - a + 1} \cdot \\ [\exp (\frac{(b - 1) (x - x_{L})}{1 - x} + \frac{x_{L} (a - 1)}{x} - (a - 1)) - \\ \exp (\frac{(b - 1) (x - x_{U})}{1 - x} + \frac{x_{U} (a - 1)}{x} - (a - 1))] \end{aligned}

$\begin{align} Q(x)= & \frac{x^a (1-x)^b}{(a+b-2)x - a+1} \cdot\\ & \left[\exp\left(\frac{(b-1)(x-x_L)}{1-x} + \frac{x_L (a-1)}{x} - (a-1)\right) - \right.\\ & \left. \exp\left(\frac{(b-1)(x-x_U)}{1-x} + \frac{x_U(a-1)}{x} - (a-1)\right)\right]\\ \end{align}$

$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x}$ $x$ $\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = 0$

$k_1$ $k_2$ $U$ $\frac{- \log(1-U)}{\lambda}$ $\lambda$

Краса такого підходу полягає в тому, що вся наполеглива робота полягає у створенні. Після того, як визначена функція конверта, обчислюється нормалізаційна константа для усіченої бета-щільності, все, що залишилося, - це генерувати однакові випадкові величини та виконувати над ними кілька простих арифметичних операцій, журналів та повноважень та порівнянь. Підтягуючи функцію конверта - горизонтальними лініями або більше експоненціальними кривими - можна, звичайно, зменшити кількість відхилень.

— Скорчі - Відновлення Моніки
джерело

+1 Приємна ідея. Оскільки Beta є приблизно нормальним для скромних до великих значень його параметрів, залежно від того, наскільки вони близькі один до одного, використання конверта Гаусса може бути ще трохи ефективнішим.

— whuber

α < 1

$\alpha<1$

β < 1

$\beta<1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

@whuber: (1) Підхід, який я застосував тут до створення конвертів, не буде працювати, оскільки щільність не є увігнутою. (2) (а) Я мав на увазі, безумовно, алгебраїчні функції + журнали та повноваження, триг. функції, якби мене запитали, а можливо, навіть гамма-функції - я зізнаюся, я не мав точного поняття. (b) Прийнятий бал - швидкі оцінки функцій не обмежуються лише тими, що мають закриті форми.

— Scortchi

α < 1

$\alpha\lt 1$

β < 1

$\beta \lt 1$