З якої причини ми використовуємо природний логарифм (ln), а не log для основи 10, визначаючи функцію в економетриці?

33

З якої причини ми використовуємо природний логарифм (ln), а не log для основи 10, визначаючи функції в економетриці?

econometrics

Перевірте це для детальної інформації youtube.com/watch?v=IXhucU6214M&feature=youtu.be, це дозволить розповісти, чому природні колоди розраховуються з причин та посилань відомих авторів

— Аміт Кумар

53

У контексті лінійної регресії в соціальних науках Гельман і Хілл пишуть [1]:

Ми вважаємо за краще натуральні колоди (тобто, логарифми базового ) , тому що, як описано вище, коефіцієнти на природно-логарифмический масштабі безпосередньо інтерпретовані як приблизні пропорційні відмінності: з коефіцієнтом 0,06, різницею 1 в відповідає наближеним 6 % різниці у тощо. $e$ $x$ $y$

[1] Ендрю Гельман та Дженніфер Хілл (2007). Аналіз даних за допомогою регресійної та багаторівневої / ієрархічної моделей . Cambridge University Press: Кембридж; Нью-Йорк, стор 60-61.

— відмітка
джерело

3

+1: З конкретної причини віддати перевагу натуральному логарифму.

— Ніл Г

2

Більш загально, експоненціальна функція є єдиною безперервною функцією, яка дорівнює її похідній.

— user603

1

це не застосовуватиметься, якщо ми застосуємо log10 до залежної та незалежної змінної?

— cs0815

2

@ cs0815, якщо застосувати розширення Тейлора навколо точки b до експоненціальної функції , при тоді ви отримаєте для перших двох доданків: і стає 1 для таким, що ви можете використовувати , що правда лише для малих x. Також ви можете просто спробувати його exp (1,06) / exp (1) = 1,0618 і 10 ^ 1,06 / 10 ^ 1 = 1,1418154

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (b)}{n!} (x - b)^{n}

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(b)}{n!}(x-b)^n$

f (x) = a^{x}

$f(x)=a^x$

f^{(n)} (x) = l n (a)^{n} a^{x}

$f^{(n)}(x) = ln(a)^n a^x$

f (b + x) = f (b) + l n (a) f (b) x + O (x^{2})

$f(b+x) = f(b) + ln(a)f(b)x + \mathcal{O}(x^2)$

l n (a)

$ln(a)$

a = e

$a=e$

f (b + x) \sim f (b) (1 + x)

$f(b+x) \sim f(b) (1+x)$

— Секст

14

Немає дуже вагомих причин віддавати перевагу природним логарифмам. Припустимо, ми оцінюємо модель:

ln Y = a + b ln X

Співвідношення натуральних (ln) та базових 10 (log) логарифмів ln X = 2.303 log X (джерело) . Отже, модель еквівалентна:

2.303 log Y = a + 2.303b log X

або, поставивши a / 2.303 = a *:

log Y = a* + b log X

Будь-яка форма моделі може бути оцінена з еквівалентними результатами.

Невелика перевага природних логарифмів полягає в тому, що їх перший диференціал простіший: d (ln X) / dX = 1 / X, тоді як d (log X) / dX = 1 / ((ln 10) X) (джерело) .

Для джерела в підручнику з економетрики, що говорить про те, що будь-яка форма логарифмів може бути використана, див. «Гуджараті», « Основи економіометрії», 3-е видання, 2006 p. 288.

— Адам Бейлі
джерело

2

Природний журнал також корисний при регресії часових рядів напівчастого журналу, оскільки оцінені коефіцієнти можуть бути інтерпретовані як швидкості зростання безперервно ускладнених.

— Джейсон Б

6

Я думаю, що природний логарифм використовується тому, що експоненція часто використовується при розрахунку відсотків / зростання.

Якщо ви перебуваєте в постійному часі і у вас є складні інтереси, у майбутньому ви будете мати значення певної суми, рівної (де r - процентна ставка, а N - номінальна сума сума). $F(t)=N.e^{rt}$

Оскільки в кінцевому рахунку ви закінчите експоненцію, найкращий спосіб позбутися від нього - за допомогою природного логарифму, і якщо ви зробите зворотну операцію, природний журнал дасть вам час, необхідний для досягнення певного зростання.

Крім того, добре про логарифми (природні чи ні) - це те, що ви можете перетворити множення на доповнення.

Щодо математичних пояснень того, чому ми в кінцевому підсумку використовуємо експоненцію при складанні інтересу, ви можете знайти їх тут: http://en.wikipedia.org/wiki/Continurely_compounded_interest#Periodic_compounding

В основному, вам потрібно взяти ліміт, щоб мати нескінченну кількість виплати процентних ставок, що в кінцевому підсумку є визначенням експоненціальної

Навіть подумав, що в реальному житті широко використовується неперервний час (ви сплачуєте свої іпотечні щомісячні платежі, а не щосекунди ..), такий розрахунок часто використовують кількісні аналітики.

— Мезоп
джерело

Я, мабуть, дав би таку відповідь. Справа, що це не має значення в моделюванні, також є хорошою. Ми могли так само легко використовувати базу 2. Різниця - лише постійний фактор

— Майкл Р. Черник

Звичайно, ви могли б написати це (більш інтуїтивно), і так ви стверджуєте, що база не має значення, як це робить Адам Бейлі?

N r^{t}

$Nr^t$

— Ніл Г

4

Додаткова причина, чому економісти люблять використовувати регресії з логарифмічними функціональними формами, є економічною: Коефіцієнти можна розуміти як пружність функції Кобба-Дугласа. Ця функція, мабуть, є найбільш поширеною, яка використовується серед економістів для аналізу питань щодо мікроекономічної поведінки (переваги споживачів, технології, виробничі функції) та макроекономічних питань (економічне зростання). Термін еластичності використовується для опису ступеня реакції зміни змінної відносно іншої.

— user21259
джерело

2

Це унікально для економіки? Стандартний нормальний розподіл містить в собі , а нормальний розподіл - лише один із великого сімейства експоненціальних розподілів, який охоплює величезну кількість статистичних даних. (Див. GLM's.) Схоже, природний журнал був би корисним у цих випадках. $e^{-{1\over2}x^2}$

— Уейн
джерело

1

Так, але термін дисперсії нормального розподілу еквівалентний зміні бази експонента. Навіть так, як ви його намалювали, базою може бути

(\sqrt{e})^{- x^{2}}

$(\sqrt{e})^{-x^2}$

— Ніл G

2

Єдина причина полягає в тому, що розширення Тейлора дає інтуїтивну інтерпретацію результату.

Давайте розглянемо типову змінну, яка багато використовується в економетриці, різниця журналів ВВП: , де - ВВП темпи зростання зараз.

Δ \ln Y_{t} = \ln Y_{t} - \ln Y_{t - 1} = \ln \frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}} = \ln (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\Delta \ln Y_t=\ln Y_t-\ln Y_{t-1}=\ln\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}=\ln\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

Застосуємо розширення журналу Тейлора : Оскільки рівень зростання ВВП зазвичай невеликий, наприклад, останнім часом для США близько 2%, ми можемо скинути всі умови вищого порядку, тоді ми отримаємо:

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} - \frac{1}{2} {(\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})}^{2} + \dots

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}-\frac 1 2 \left(\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)^2+\dots$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

Таким чином, якщо ви використовуєте журнал відмінності ВВП в правій частині рівняння, наприклад , в якості пояснюватиме змінної в регресії може мати наступне: який може трактуватися як " кратна зміна відсотків у ВВП".

\dots = \dots + β \times Δ \ln Y_{t}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\ln Y_t$

β

$\beta$

Економістам подобаються змінні, які можна легко інтерпретувати. Якщо ви підключили іншу базу журналів, то інтерпретація слабша. Наприклад, подивіться, що відбувається з базою журналів 10: Це все ще працює, але тепер вам потрібно розділити на деяке неінтуїтивне число, щоб отримати інтерпретацію ефекту "процентна зміна".

\dots = \dots + β \times Δ \log_{10} Y_{t} \approx \dots + β \times \frac{1}{\ln (10)} \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\log_{10} Y_t\\ \approx\dots+\beta\times\frac 1 {\ln(10)}\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

β

$\beta$

— Аксакал
джерело

1

Є вагома причина використовувати перетворення журналу змінної, якщо ви думаєте, що зворотна функція логарифму - це експоненціальна функція, яка є безперервним варіантом конфузії. Економічна змінна, яка зростає приблизно 10% одночасно, може бути перетворена на змінну із її середнім значенням близько 10 (плюс константа). Ви не можете цього зробити при перетворенні логарифмів різної основи.

— Ікуясу
джерело