Як інтерпретувати свою регресію за допомогою перших відмінних змінних?

У мене є два часові ряди:

Проксі-сервер премії за ринковий ризик (ERP; червона лінія)
Безризикова ставка, опосередкована державною облігацією (синя лінія)

Проксі-преміум-ризик та безризикова ставка з часом

Я хочу перевірити, чи може безризикова ставка пояснити ERP. Цим я в основному дотримувався поради Цей (2010, 3-е видання, стор. 96): Фінансовий часовий ряд:

Встановіть модель лінійної регресії та перевірте послідовну кореляцію залишків.
Якщо залишковий ряд є нестаціонарністю одиничних коренів, візьміть першу різницю як залежних, так і пояснювальних змінних.

Роблячи перший крок, я отримую такі результати:

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     6.77019    0.25103   26.97   <2e-16 ***
Risk_Free_Rate -0.65320    0.04123  -15.84   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Як і очікувалося від фігури, співвідношення негативне та значне. Однак залишки послідовно співвідносяться:

Функція ACF залишків регресії безризикової ставки на ERP

Тому я спочатку відрізняю і залежну, і пояснювальну змінну. Ось що я отримую:

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    -0.002077   0.016497  -0.126      0.9    
Risk_Free_Rate -0.958267   0.053731 -17.834   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

А ACF залишків виглядає так:

Функція ACF залишків регресії безризикової ставки на ERP (різниться)

Цей результат виглядає чудово: По-перше, залишки тепер не пов’язані між собою. По-друге, відносини зараз здаються більш негативними.

Ось мої запитання (ви, напевно, задавались питанням до цього часу ;-) Перший регрес я би трактував як (в бік економетричних проблем) "якщо безризикова ставка зросте на один відсотковий пункт, ERP впаде на 0,65 процентного пункту". Насправді, поміркувавши про це деякий час, я би трактував другу регресію так само (зараз це призводить до падіння 0,96 процентних пунктів). Чи правильне це тлумачення? Це просто дивно, що я перетворюю свої змінні, але не потрібно міняти своє тлумачення. Якщо це все-таки правильно, чому результати змінюються? Це лише результат економетричних проблем? Якщо так, чи має хтось уявлення, чому моя друга регресія здається ще "кращою"? Зазвичай я завжди читаю, що у вас можуть бути помилкові кореляції, які зникають після того, як ви це зробите правильно. Ось

regression time-series

— Крістоф_J
джерело

Відповіді:

y_{t} = β_{0} + β_{1} x_{t} + β_{2} t + ϵ_{t} .

$\begin{equation*} y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \beta_2 t + \epsilon_t. \end{equation*}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

β_{0} + β_{1} x_{t - 1} + β_{2} (t - 1) + ϵ_{t - 1}

$\beta_0 + \beta_1 x_{t-1} + \beta_2 ({t-1}) + \epsilon_{t-1}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

Δ y_{t} = β_{1} Δ x_{t} + β_{2} + Δ ϵ_{t} .

$\begin{equation*} \Delta y_t = \beta_1 \Delta x_t + \beta_2 + \Delta \epsilon_t. \end{equation*}$

Δ x

$\Delta x$

β_{1}

$\beta_1$

ϵ_{t} = \sum_{s = 0}^{t - 1} ν_{s},

$\begin{equation*} \epsilon_t = \sum_{s=0}^{t-1}{\nu_s}, \end{equation*}$

ν_{s}

$\nu_s$

$\epsilon$

З цих причин важливо лише відмінність процесів, які не є стаціонарними через одиничні корені, і використовувати детрендаж для так званих стаціонарних трендів.

(Корінь одиниці призводить до зміни дисперсії серії і фактично вибухає з часом; однак очікуване значення цього ряду є постійним. Однак стаціонарний процес має тенденцію до протилежних.)

— Чарлі
джерело

Чудова відповідь, дякую за пояснення. Це дуже допомагає.

— Крістоф_J

+1 Останнє речення - це золото, і я хотів би, щоб це було так чітко висловлено, коли я вперше зіткнувся з ідеєю розмежування.

— Уейн

ϵ

$\epsilon$

Чудові бали, @cardinal. Зміни були внесені. Я сподіваюся, що вони прояснять речі.

— Чарлі

y

$y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

Перша диференціація видаляє лінійні тенденції, які, здається, зберігаються у ваших оригінальних залишках. Схоже, що перше розмежування усунуло тенденцію щодо залишків, і ви залишаєтесь в основному з некорельованими залишками. Я думаю, що, можливо, тенденція щодо залишків приховувала частину негативного зв’язку між ERP та безризиковою ставкою, і це було б причиною того, що модель демонструє міцніші відносини після розмежування.

— Майкл Р. Черник
джерело