Чим відрізняється PCA від асимптотичного PCA?

У двох роботах у 1986 та 1988 роках Коннор та Корайчик запропонували підхід до моделювання прибутку активів. Оскільки в цих часових рядах зазвичай є більше активів, ніж спостереження за часовий період, вони запропонували виконати PCA на поперечному перерізі коефіцієнтів повернення активів. Цей метод вони називають асимптотичним аналізом основних компонентів (APCA, що досить заплутано, оскільки аудиторія негайно думає про асимптотичні властивості PCA).

Я розробив рівняння, і два підходи здаються чисельно рівнозначними. Звичайно, асимптотика відрізняється, оскільки конвергенція доведена для а не . Моє запитання: хтось використовував APCA і порівняно з PCA? Чи є конкретні відмінності? Якщо так, то які?T → $N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

Різниці абсолютно немає.

Існує абсолютно ніякої різниці між стандартним PCA і тим, що C&K запропонував і назвав "асимптотичним PCA". Досить смішно давати це окреме ім’я.

Ось коротке пояснення PCA. Якщо центрировані дані зі зразками у рядках зберігаються в матриці даних , то PCA шукає власні вектори матриці коваріації і проектує дані на них власних векторів для отримання основних компонентів. Рівнозначно можна вважати матрицю Грама . Неважко помітити, що має точно такі ж власні значення, а його власні вектори - це масштабовані ПК. (Це зручно, коли кількість вибірок менша за кількість ознак.)$\mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

Мені здається, що те, що запропонувало C&K, - це обчислити власні вектори матриці Грама, щоб обчислити основні компоненти. Ну, вау. Це не "еквівалент" PCA; вона є PCA.

Для додавання плутанини назва "асимптотичний PCA", схоже, посилається на його відношення до факторного аналізу (FA), а не на PCA! Оригінальні статті C&K перебувають під оплатою, тому ось цитата з Tsay, Аналіз фінансових часових серій, доступна в Google Books:

Коннор і Корайчик (1988) показали, що як [кількість ознак] власне значення власного вектора аналізу [матриці Грама] еквівалентно традиційному статистичному факторному аналізу.→ $k$$\to \infty$

Це насправді означає, що коли , PCA дає те саме рішення, що і FA. Це простий для розуміння факт щодо PCA та FA, і він не має нічого спільного з тим, що запропонував C&K. Я обговорював це в наступних темах:$k \to \infty$

• Чи є якісь вагомі причини використовувати PCA замість EFA? Також може PCA бути заміною факторного аналізу?
• За яких умов PCA і FA дають подібні результати?

Отже, підсумок: C&K вирішив ввести термін "асимптотичний PCA" для стандартного PCA (який також можна назвати "асимптотичний FA"). Я б пішов так далеко, щоб рекомендувати ніколи не вживати цей термін.

Зазвичай APCA використовується, коли є багато серій, але дуже мало зразків. Я б не описав APCA як кращий чи гірший за PCA через еквівалентність, яку ви зазначили. Однак вони відрізняються тим, коли інструменти застосовні. Це розуміння документа: ви можете перевернути розмірність, якщо це зручніше! Отже, у згаданому вами додатку є багато активів, тому вам знадобиться довгий часовий ряд для обчислення коваріаційної матриці, але тепер ви можете використовувати APCA. Однак, я не думаю, що APCA застосовується дуже часто, оскільки ви можете спробувати зменшити розмірність, використовуючи інші методи (наприклад, факторний аналіз).