Зв'язок між двома часовими рядами: ARIMA

З огляду на наступні два часові ряди ( x , y ; див. Нижче), який найкращий метод моделювання взаємозв'язку між довгостроковими тенденціями в цих даних?

Обидва часові ряди мають значні тести Дурбіна-Уотсона, коли їх моделюють як функцію часу, і не є стаціонарними (наскільки я розумію цей термін, чи це означає, що він повинен бути нерухомим у залишках?). Мені сказали, що це означає, що я повинен приймати різницю першого порядку (принаймні, може, навіть 2-го порядку) кожного часового ряду, перш ніж я зможу моделювати одне як функцію іншого, по суті використовуючи ариму (1,1,0 ), аріма (1,2,0) тощо.

Я не розумію, для чого вам потрібно детрендувати, перш ніж ви зможете їх моделювати. Я розумію необхідність моделювання автокореляції, але не розумію, чому потрібно розрізняти. Мені здається, ніби відмінність від різниці - це вилучення первинних сигналів (в даному випадку довготривалих тенденцій) у дані, які нас цікавлять, і залишає "шум" з високою частотою (використовуючи термін "шум". Дійсно, в симуляціях, де я створюю майже ідеальний взаємозв'язок між одним часовим рядом та іншим, без автокореляції, диференціювання часових рядів дає мені результати, контртуативні для виявлення відносин, наприклад,

a = 1:50 + rnorm(50, sd = 0.01)
b = a + rnorm(50, sd = 1)
da = diff(a); db = diff(b)
summary(lmx <- lm(db ~ da))

У цьому випадку b сильно пов'язане з a , але b має більше шуму. Для мене це показує, що диференціація не працює в ідеальному випадку для виявлення зв’язків між низькочастотними сигналами. Я розумію, що диференціація зазвичай використовується для аналізу часових рядів, але, здається, вона є більш корисною для визначення зв’язків між високочастотними сигналами. Що я пропускаю?

Приклад даних

df1 <- structure(list(
x = c(315.97, 316.91, 317.64, 318.45, 318.99, 319.62, 320.04, 321.38, 322.16, 323.04, 324.62, 325.68, 326.32, 327.45, 329.68, 330.18, 331.08, 332.05, 333.78, 335.41, 336.78, 338.68, 340.1, 341.44, 343.03, 344.58, 346.04, 347.39, 349.16, 351.56, 353.07, 354.35, 355.57, 356.38, 357.07, 358.82, 360.8, 362.59, 363.71, 366.65, 368.33, 369.52, 371.13, 373.22, 375.77, 377.49, 379.8, 381.9, 383.76, 385.59, 387.38, 389.78), 
y = c(0.0192, -0.0748, 0.0459, 0.0324, 0.0234, -0.3019, -0.2328, -0.1455, -0.0984, -0.2144, -0.1301, -0.0606, -0.2004, -0.2411, 0.1414, -0.2861, -0.0585, -0.3563, 0.0864, -0.0531, 0.0404, 0.1376, 0.3219, -0.0043, 0.3318, -0.0469, -0.0293, 0.1188, 0.2504, 0.3737, 0.2484, 0.4909, 0.3983, 0.0914, 0.1794, 0.3451, 0.5944, 0.2226, 0.5222, 0.8181, 0.5535, 0.4732, 0.6645, 0.7716, 0.7514, 0.6639, 0.8704, 0.8102, 0.9005, 0.6849, 0.7256, 0.878),
ti = 1:52), 
.Names = c("x", "y", "ti"), class = "data.frame", row.names = 110:161)

ddf<- data.frame(dy = diff(df1$y), dx = diff(df1$x))
ddf2<- data.frame(ddy = diff(ddf$dy), ddx = diff(ddf$dx))
ddf$ti<-1:length(ddf$dx); ddf2$year<-1:length(ddf2$ddx)
summary(lm0<-lm(y~x, data=df1))      #t = 15.0
summary(lm1<-lm(dy~dx, data=ddf))    #t = 2.6
summary(lm2<-lm(ddy~ddx, data=ddf2)) #t = 2.6

Метт, ти дуже правий у питаннях, які ви порушили щодо використання непотрібної структури розрізнення. Для того, щоб визначити відповідну модель для ваших даних, що дають значну структуру під час надання процесу помилок Гаусса з ACFПроцес моделювання ідентифікації функцій передачі вимагає (у даному випадку) відповідного диференціювання для створення сурогатних рядів, які є нерухомими та, таким чином, придатними для ідентифікації взаємозв'язку. При цьому вимоги до розрізнення для ІДЕНТИФІКАЦІЇ були подвійним розмежуванням для X та одинарним розрізненням для Y. Крім того, було встановлено, що фільтром ARIMA для подвійно різничного X є AR (1). Застосування цього фільтра ARIMA (тільки для ідентифікації!) До обох стаціонарних серій дало таку схрещувальну кореляційну структуру. що говорить про прості сучасні відносини. . Зауважимо, що, хоча оригінальні серії демонструють нестаціонарність, це не обов'язково означає, що необхідна диференціація в причинній моделі. Кінцева модель та остаточний ACF це підтверджують. Замикаючи підсумкове рівняння осторонь одного емпірично визначеного зрушення рівня (насправді перехоплення змін)

 Y(t)=-4.78 + .192*X(t) - .177*X(t-1) which is NEARLY equal to 

 Y(t)=-4.78 + .192*[X(t)-X(t-1)] which means that changes in X effect the level of Y

Наостанок відзначимо характеристики запропонованої моделі.

Серія зсуву рівня (0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1, ........., 1) передбачає, якщо залишити їх не обробленими, то залишки моделі демонструватимуть рівень зсув на або в проміжок часу 10 THUS тест гіпотези загальної залишкової середньої величини між першими 10 залишками і останніми 42 був би значущим при альфа = .0002 на основі "t тесту -4,10". Зауважимо, що включення постійної гарантії того, що загальна середня кількість залишків суттєво не відрізняється від нуля, АЛЕ це не обов'язково для всіх інтервалів підмножини. Наведений нижче графік чітко показує це (зважаючи на те, що вам сказали дивитись!). Фактичний / придатний / прогноз досить яскравий . Статистика схожа на світильники, деякі використовують їх для нахилу, інші використовують для освітлення.

Я також не розумію цієї поради. Диференціація усуває поліноміальні тенденції. Якщо серії подібні через тенденції, що розрізняються, суттєво усуває цей взаємозв'язок. ви зробите це лише в тому випадку, якщо ви очікуєте, що компоненти, що підлягають впливу, пов'язані. Якщо однаковий порядок розрізнення призводить до ACF для залишків, схожих на стаціонарну модель ARMA, включаючи білий шум, що може означати, що обидві серії мають однакові або схожі поліноміальні тенденції.

Наскільки я це розумію, диференціювання дає чіткіші відповіді у функції перехресної кореляції. Порівняйте ccf(df1$x,df1$y)і ccf(ddf$dx,ddf$dy).