Який розподіл вірогідності цієї випадкової суми неіідних змінних Бернуллі?

9

Я намагаюся знайти розподіл ймовірності суми випадкової кількості змінних, які не однаково розподілені. Ось приклад:

Джон працює в центрі обслуговування клієнтів. Він отримує дзвінки з проблемами і намагається їх вирішити. Ті, кого він не може вирішити, він передає їх своєму начальнику. Припустимо, що кількість дзвінків, які він отримує за день, слід за розподілом Пуассона із середнім . Складність кожної проблеми варіюється від досить простих речей (з якими він точно може впоратися) до дуже спеціалізованих питань, які він не знатиме, як вирішити. Припустимо, що ймовірність він зможе вирішити i - ту проблему, слід за розподілом Beta з параметрами і і не залежить від попередніх проблем. Яке розподіл кількості дзвінків він вирішує за день? $\mu$ $p_i$ $\alpha$ $\beta$

Більш офіційно у мене є:

$Y = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i$ для $i = 0, 1, 2, ..., N$

де , та $N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$ $(X_i | p_i) \sim \mathrm{Bernoulli}(p_i)$ $p_i \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

Зауважте, що наразі я радий припустити, що незалежні. Я б також прийняв, що параметри і $X_i$ $\mu, \alpha$ $\beta$ не впливають один на одного, хоча в реальному прикладі цього коли $\mu$ великий, параметри $\alpha$ і $\beta$ такі, що бета-дистрибуція має більшу масу при низьких показниках успішності $p$ . Але давайте ігноруємо це поки.

Я можу розрахувати $P(Y = 0)$ але ось про це. Я також можу імітувати значення, щоб отримати уявлення про те, що таке розподіл $Y$ схоже (це схоже на Пуассона, але я не знаю, чи це до числа $\mu, \alpha$ і $\beta$ Я спробував чи узагальнює, і як це може змінитися для різних значень параметрів). Будь-яке уявлення про те, що це за розподіл чи як я можу піти про його отримання?

Зверніть увагу, що я також розмістив це питання на форумі TalkStats, але я подумав, що він може отримати більше уваги тут. Вибачте за перехресне повідомлення та заздалегідь дякую за ваш час.

EDIT : Як виявляється (див. Дуже корисні відповіді нижче - і дякую за це!), Це справді а $\mathrm{Poisson}(\frac{\mu\alpha}{\alpha + \beta})$ розподіл - те, про що я здогадувався, виходячи зі своєї інтуїції та деяких симуляцій, але не зміг довести. Однак мене зараз дивує те, що розподіл Пуассона залежить лише від середнього значення $\mathrm{Beta}$ розповсюдження, але його зміна не впливає.

Наприклад, наступні два бета-розподіли мають однакове середнє значення, але різну дисперсію. Для наочності синій pdf являє собою a $\mathrm{Beta}(2, 2)$ і червоний $\mathrm{Beta}(0.75, 0.75)$ .

Однак і те, і інше призведе до однакового $\mathrm{Poisson}(0.5\mu)$ розподіл, який мені здається трохи протиінтуїтивним. (Не кажучи, що результат неправильний, просто дивно!)

probability distributions random-variable

— Константінос
джерело

Для фіксованих

N

$N$ існує пуассоно-біноміальне розподіл, але ваша проблема є складнішою, ніж ця.

— Тім

Дякую, я знаю про пуассоно-біноміальне розподіл, але

N

$N$ тут випадковий.

— Константинос

Ви можете поглянути на склад Пуассона , але вам може знадобитися зробити деяку роботу з 0, щоб зробити це корисним

— Glen_b -Встановіть Моніку

6

Дзвінки (тобто $X_i$ ) прибути відповідно до процесу Пуассона. Загальна кількість дзвінків $N$ слід розподілу Пуассона. Розділіть дзвінки на два типи, наприклад, чи $X_i = 1$ або $X_i = 0$ . Мета - визначити процес, що генерує $1$ с. Це банально, якщо $X_i = 1$ з фіксованою ймовірністю $p$ : за принципом суперпозиції процесів Пуассона, повний процес стоншується до просто $1$ s також був би процес Пуассона зі швидкістю $p\mu$ . Насправді це так, нам просто потрібен додатковий крок, щоб потрапити туди.

Маргіналізація над $p_i$ , так що

П r (Х_{i} | α, β) = \int_{0}^{1} p_{i}^{Х_{i}} (1 - p_{i})^{1 - Х_{i}} \frac{p_{i}^{α - 1} (1 - p_{i})^{β - 1}}{Б (α, β)} г p_{i} = \frac{Б (Х_{i} + α, 1 - Х_{i} + β)}{Б (α, β)}

$\mathrm{Pr}(X_i|\alpha, \beta) = \int_0^1 p_i^{X_i} (1-p_i)^{1-X_i} \frac{p_i^{\alpha-1} (1-p_i)^{\beta-1}}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)} dp_i = \frac{\mathcal{B}(X_i + \alpha, 1 - X_i + \beta)}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)}$

Де $\mathcal{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$ - це бета-функція. Використовуючи те, що $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ , вищесказане спрощує до;

П r (Х_{i} = 1 | α, β) = \frac{Γ (1 + α) Γ (β)}{Γ (1 + α + β)} \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} = \frac{α}{α + β}

$\mathrm{Pr}(X_i = 1|\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$ Іншими словами,

X_{i} \sim B e r n o u l l i (\frac{α}{α + β})

$X_i \sim \mathrm{Bernoulli}(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})$ . За властивістю суперпозиції,

Y

$Y$ Пуассон розподіляється зі швидкістю

\frac{α μ}{α + β}

$\frac{\alpha \mu}{\alpha+\beta}$ .

Числовий приклад (з R) ... на малюнку вертикальні лінії є від імітації, а червоні точки - pmf, отримані вище:

draw <- function(alpha, beta, mu) 
{ N <- rpois(1, mu); p = rbeta(N, alpha, beta); sum(rbinom(N, size=1, prob=p)) }

pmf <- function(y, alpha, beta, mu)
  dpois(y, alpha*mu/(alpha+beta))

y <- replicate(30000,draw(4,5,10))
tb <- table(y)

# simulated pmf
plot(tb/sum(tb), type="h", xlab="Y", ylab="Probability")
# analytic pmf
points(0:max(y), pmf(0:max(y), 4, 5, 10), col="red")

— Нейт Папа
джерело

3

З тих пір $p_i$ - випадкова величина з a $\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$ ти маєш $\mathbb{E}[p_i]= \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ і це насправді ймовірність того, що Джон насправді вирішує це $i$ та проблема, незалежно від усіх інших.
Оскільки загальна кількість проблем за день має розподіл Пуассона з параметром $\mu$ і кожен буде вирішений з вірогідністю $\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ , число, яке Джон вирішує щодня, має розподіл Пуассона з параметром $\dfrac{\mu\alpha}{\alpha+\beta}$
Ваш розрахунок ймовірності він не вирішує жодних проблем $\mathbb{P}(Y=0) = e^{-{\mu\alpha}/({\alpha+\beta})}$

— Генрі
джерело