Сума експоненціальних випадкових величин слід за Гаммою, переплутаною параметрами

Я дізнався, що сума експоненціальних випадкових величин слід за розподілом Gamma.

Але скрізь, коли я читаю, параметризація різна. Наприклад, Wiki описує відносини, але не кажіть, що насправді означають їх параметри? Форма, масштаб, швидкість, 1 / ставка?

Експоненційний розподіл: $x$ ~ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Розповсюдження гамми: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

У цьому налаштуванні, що таке ? Якою була б правильна параметризація? Як щодо поширення цього чи-квадрата? $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— Едвін
джерело

Як правило, орієнтоване і готове, імовірнівники, як правило, використовують

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$ для позначення розподілу Гамми із середнім

(тобто

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

тоді як статистики, як правило, використовують

для позначення випадкової величини Gamma із середнім

, а не

так, як у вас це є. У Вікіпедіїописані обидві конвенції.

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Діліп Сарват

вибачте, ви праві.

— Едвін

Два підказки: 1. не забудьте перевірити консистенцію розмірності. (напр., чи має параметр однакову розмірність

, або його реципрокал ...?) 2. оскільки тут параметр гами є цілим числом, можливо, буде легше використовувати прості множини та розподіл Ерланга (з звичайно, те саме)

x

$x$

— leonbloy

@edwin Тому, будь ласка, відредагуйте своє запитання, щоб виправити вирази для середнього та відхилення.

— Діліп Сарват

@DilipSarwate відредаговано!

— Едвін

Відповіді:

Сума незалежних випадкових змінних гамма є випадковою змінною Gamma . Не має значення, що означає другий параметр (масштаб або зворотний масштаб), доки всі випадкових змінних мають однаковий другий параметр. Ця ідея легко поширюється на випадкових величини, які є особливим випадком випадкових змінних Gamma. $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Діліп Сарват
джерело

Мене бентежить те, що деякі книги пишуть

де

- ставка, а інші означають 1 / rate. Чи є відповідні позначення? Якщо я не побачу pdf, я не знаю, що вони означають.

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— Едвін

Якщо ви вважаєте, що це заплутано, зачекайте, поки ви не зіткнетесь із звичайними випадковими змінними. Є по крайней мере , три різні інтерпретації з

статистикам використовувати.

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Діліп Сарват

хаха, це просто знищує невинних душ, які хочуть вивчити цю тему. Я особисто вважаю, що це недостатньо погано написано з боку автора, в той же час я погоджуюся, що мені потрібно адаптувати вміння помічати неправильні речі. Але все-таки не тоді, коли я роблю дитячі кроки.

— Едвін

Ну добре, як автор відповіді на інше запитання, я розчарований, що ви вважаєте, що ця відповідь написана погано. Пропозиції щодо її вдосконалення вітаються найчастіше.

— Діліп Сарват

Я не маю на увазі вашого посилання.

— Едвін

Сума iid експоненціальних розподілів зі шкалою (швидкість ) гамма-розподілена з формою та шкалою (швидкість ). $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— Ніл Г
джерело

гамма-розподіл складається з експоненціального розподілу, тобто експоненціальний розподіл є базовим для розподілу гамми. тоді, якщо ми маємо , якщо всі є незалежними. $f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
джерело

Я відформатував математичну частину вашої відповіді. Перевірте, чи це все-таки ви хочете висловити.

— Енді

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$