Розкладання нормального розподілу

Чи існує така позитивна розподіл, що різниця двох незалежних вибірок від цього розподілу зазвичай розподіляється? Якщо так, чи має вона просту форму?

distributions probability

— Мартін О'Лірі
джерело

Цікаве запитання! Нормальний розподіл нескінченно розкладається, тобто завжди можна записати його як розподіл суми довільного числа випадкових величин. Але це не питання.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— Сіань

Якщо ви отримуєте до породжує функції момент, питання , чи є чи не дозволяє для рішення (в ), яке є моментом, що генерує функцію позитивної змінної ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

— Сіань

Ви праві, @Dilip: різниця у пів-нормальних нормальних розподілах не має. Проблема не в дисперсії різниці: сама форма розподілу не є нормальною (її куртоз занадто великий).

— whuber

Хоча це очевидно, можливо, варто зазначити, що твердження є приблизно правильним. Зрештою, різниця змінної і змінної має розподіл і, по вибравши достатньо великий, ми можемо створити шанс, що будь-яка змінна має негативний настільки маленький розмір, як бажано.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

— качан

Відповідь на питання - Ні, і це випливає з відомої характеристики нормальних розподілів.

Припустимо, що і - незалежні випадкові величини. Тоді так само є і незалежні випадкові величини, і, звичайно, ми можемо записати як , сума двох незалежних випадкових величин. Тепер, згідно теореми, вигаданої П. Леві і доведеної Х. Крамером (див. Феллер, глава XV.8, теорема 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Якщо і є незалежними випадковими змінними і нормально розподілені, то обидва і зазвичай розподіляються. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

ОП запитує, чи існують iid позитивні випадкові величини і такі, що нормально розподіляється. Але навіть якщо ми відмовляємось від позитивності та однакових розподілів і зберігаємо лише незалежність, нормальність вимагає, щоб і і були нормальними випадковими змінними. Як каже Феллер, "нормальний розподіл не може бути розкладений за винятком тривіального способу". $X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Діліп Сарват
джерело

Я дещо сподівався, що відповідь буде так, але дякую! У мене немає простого доступу до копії Феллера - чи можна замалювати доказ теореми? Це здається досить контрсуєтивним.

— Мартін О'Лірі

Навіть Феллер не містить оригінального доказу, який стверджує, що він заснований на теорії аналітичних функцій і, таким чином, сильно відрізняється від його підходу до характерних функцій.

— Діліп Сарват

Я думав, що це так, але це відкриває двері для залежних змінних. Я намагався знайти спосіб побудувати залежність між двома позитивними половинами нормалів, але не зміг змусити його працювати.

— Майкл Р. Черник

ну, можливо, хтось повинен мене більше зацікавити, намагаючись вирішити це

— Майкл Р. Черник

Я поставлю це питання, і тоді ви зможете прописати свою відповідь. Я не зовсім слідкую за тим, як виглядає ця щільність суглобів, і ви приймаєте Z = | X | - | Y |?

— Майкл Р. Черник