Моменти розподілу - будь-яке використання для часткових чи вищих моментів?

Для опису певних властивостей зазвичай використовують другий, третій та четвертий моменти розподілу. Чи описують часткові моменти або моменти вище четвертого будь-які корисні властивості розподілу?

distributions moments partial-moments

— Едуардас
джерело

Не відповідь, але слід пам’ятати, що моменти вищого порядку потребують набагато більше спостережень, щоб отримати перший сиг-фиг.

— ізоморфізми

Повідомлення, яке використовує часткові моменти, - stats.stackexchange.com/questions/94402/… . Тож часткові моменти мають певну користь, і, ймовірно, їх можна використовувати більше.

— kjetil b halvorsen

Відповіді:

Крім спеціальних властивостей кількох чисел (наприклад, 2), єдиною реальною причиною виділення цілих моментів на відміну від дробових моментів є зручність.

Вищі моменти можна використовувати для розуміння поведінки хвоста. Наприклад, централізована випадкова величина з дисперсією 1 має підгаусські хвости (тобто для деяких констант ) лише тоді і тільки якщо для кожного та деякої постійної . $X$ $\mathbb{P}(|X| > t) < C e^{-ct^2}$ $c,C > 0$ $\mathbb{E}|X|^p \le (A \sqrt{p})^p$ $p\ge 1$ $A > 0$

— Марк Меккес
джерело

результат, який ви констатуєте для [під] гауссових хвостів, не виглядає правильним. згідно з прив’язаною [ ], яку ви цитуєте, норма централізованої гауссової змінної не буде [в межі] перевищувати 1., але норма rv має тенденцію до його ess sup, що становить для гауссової змінної.

A \sqrt{p}

$A\sqrt{p}$

p^{t h}

$p^{th}$

p^{t h}

$p^{th}$

+ \infty

$+\infty$

— ronaf

Дякуємо, що це зробили. Я забув експонента на РЗС; це зараз виправлено.

— Марк Меккес

ви могли б надати посилання на цей результат?

— Гері

@Gary: на жаль, я не знаю посилання (опублікованого чи в Інтернеті); це частина фольклору моєї галузі, прописана курсами, але списана як «проста і добре відома» в роботах. Однак доказ легкий. З огляду на хвостову оцінку, оцінка моменту випливає з інтеграції за частинами (тобто ) та формула Стірлінга. З урахуванням моменту оцінки хвостової оцінки слід, застосовуючи нерівність Маркова та оптимізуючи по .

E | X |^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb{E} |X|^p = \int_0^\infty p t^{p-1} \mathbb{P}(|X| > t) dt$

p

$p$

— Марк Меккес

Мені стає підозріло, коли я чую, як люди запитують про третій та четвертий моменти. Є дві поширені помилки, які люди часто мають на увазі, коли піднімають тему. Я не кажу, що ви обов'язково робите ці помилки, але вони трапляються часто.

По-перше, це здається, що вони неявно вірять, що розподіли можна звести до чотирьох чисел; вони підозрюють, що лише двох чисел недостатньо, але трьох-чотирьох має бути багато.

По-друге, це звучить як підслуховування моменту підходу до статистики, який значною мірою втратив методи максимальної вірогідності в сучасній статистиці.

Оновлення: цю відповідь я розширив у публікації в блозі .

— Джон Д. Кук
джерело

Один приклад використання (інтерпретація - кращий класифікатор) вищого моменту: п'ятий момент одновимірного розподілу вимірює асиметрію його хвостів.

— user603
джерело

Але хіба третій (центральний) момент не робить цього більш стабільним і практичним способом?

— whuber

@Whuber:> третє - це вимірювання загальної асиметрії, що не те саме, що хвоста асиметрія. Через вищий показник значення п'ятого майже повністю визначається хвостами.

— user603

@Kwak: Дякую за роз’яснення свого значення. Звичайно, та ж відповідь може бути застосована до будь-якого дивного моменту: вони вимірюють асиметрію все далі і далі у хвостах.

— whuber

@Whuber:> Звичайно. Зауважте, що навіть для справедливого хвостового розподілу, подібного до гаусса, до 7-го моменту ви вже порівнюєте максимум із мінімальним.

— user603

@Kwak: два швидкі подальші запитання; не потрібно відповідати, якщо ви цього не хочете. (1) "Справедливий хвіст" ?? (2) Що таке мінімум та максимум гаусса?

— whuber