Що таке колектор?

У техніці зменшення розмірності, такі як аналіз основних компонентів, LDA тощо, часто використовується термін колектор. Що таке багатоманіття в нетехнічному терміні? Якщо точка належить до сфери, розмірність якої я хочу , щоб зменшити, а якщо є шум у і х і у є корельованими, то фактичні точки х будуть далеко відокремлені один від одного з - за шуму. Тому потрібна буде фільтрація шуму. Отже, зменшення розмірів буде виконуватися на z = x + y . Тому тут х і у належать до різних різновидів?$x$$y$$x$$y$$x$$z = x+y$$x$$y$

Я працюю над хмарними даними, які часто використовуються в зорі роботів; хмари точок шуміть через шум при придбанні, і мені потрібно зменшити шум перед зменшенням розмірів. В іншому випадку я отримаю неправильне зменшення розмірів. Отже, що тут множина і чи шум є частиною того самого багатообраза, до якого належить ?$x$

У нетехнічному плані колектор - це суцільна геометрична структура, що має кінцевий розмір: лінія, крива, площина, поверхня, сфера, куля, циліндр, торус, «крап» ... щось подібне :

$n$

$(x,y)$$x^2+y^2=1$

Колектор має скрізь однаковий вимір. Наприклад, якщо ви додасте рядок (розмірність 1) до сфери (розмірність 2), то отримана геометрична структура не є різновидом.

$\mathbb{R}^n$

На відміну від векторного простору, колектори можуть мати різні форми. Деякі колектори можна легко візуалізувати (сфера, куля ...), деякі важко візуалізувати, як пляшка Кляйна чи реальна проекційна площина .

$3x+2y-4z=1$$x^2+2y^2+3z^2=7$

$x^2+y^2=1$

$M$

$\mathbb{R}^n$$n$

$n$$c_i: M \to \mathbb{R}$$c: M \to \mathbb{R}^n$

$\mathbb{R}^N$$N \ge n$

Зауважимо, що для того, щоб зробити тут "структуру" точною, потрібно зрозуміти основні поняття топології ( деф. ), Що дозволяє скласти точні поняття "локальної" поведінки, а отже, "локально" вище. Коли я кажу «еквівалент», я маю на увазі еквівалентну топологічну структуру ( гомеоморфну ), а коли я кажу «збереження структури», я маю на увазі те саме (створює еквівалентну топологічну структуру).

Зауважимо також, що для того, щоб робити обчислення на колекторах , потрібна додаткова умова, яка не випливає з вищевказаних двох умов, яка, в основному, говорить про щось на кшталт "діаграми досить добре поводяться, щоб ми могли робити обчислення". Це колектори, які найчастіше використовуються на практиці. На відміну від загальних топологічних колекторів , крім обчислення вони також дозволяють тріангуляції , що дуже важливо в таких програмах, як ваше, що включає дані хмарних даних .

Зауважте, що не всі люди використовують одне і те ж визначення для (топологічного) колектора. Кілька авторів визначать це як задовольняє лише умові (1) вище, не обов'язково також (2). Однак визначення, яке задовольняє і (1), і (2), є набагато кращим, тому корисніше для практикуючих. Можна інтуїтивно очікувати, що (1) передбачає (2), але насправді це не так.

$\mathbb{R}^n$

У цьому контексті термін колектор є точним, але є надмірно високим. Технічно колектор - це будь-який простір (набір точок з топологією), який є досить рівним і безперервним (таким чином, що можна докласти певних зусиль математично).

Уявіть простір усіх можливих значень ваших вихідних факторів. Після методики зменшення розмірів не всі точки в цьому просторі досяжні. Натомість будуть доступні лише точки на деякому вбудованому підпросторі всередині цього простору. Цей вбудований підпростір, як правило, відповідає математичному визначенню множини. Для такої лінійної методики зменшення розмірів, як PCA, цей підпростір - це лише лінійний підпростір (наприклад, гіперплощина), що є відносно тривіальним багатообразом. Але для техніки нелінійного зменшення розмірності цей підпростір може бути складнішим (наприклад, зігнута гіперповерхня). Для цілей аналізу даних розуміння того, що це підпростори, є набагато важливішим, ніж будь-який висновок, який ви б робили, знаючи, що вони відповідають визначенню множини.