Яке визначення симетричного розподілу?

Яке визначення симетричного розподілу? Хтось сказав мені, що випадкова величина походить від симетричного розподілу тоді і тільки тоді, коли і мають однаковий розподіл. Але я думаю, що це визначення частково вірно. Тому що я можу представити контрприклад та . Очевидно, він має симетричний розподіл, але і мають різний розподіл! Я правий? Ви, коли-небудь, думаєте над цим питанням? Яке точне визначення симетричного розподілу? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— шицзін СІ
джерело

Коли ви говорите, що "розподіл симетричний", ви повинні вказати, яка точка є симетричною. У випадку звичайного розподілу, який ви подаєте, симетрія задається навколо

μ

$\mu$ . У цьому випадку

X - μ

$X-\mu$ і

- (X - μ)

$-(X-\mu)$ мають однаковий розподіл. З точки зору щільності це можна виразити так:

f

$f$ симетрично щодо

μ

$\mu$ якщо

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$ . До речі, добре приймати відповіді, коли вас влаштовує одна з них.

Так, ми, хлопці, задумалися над цим питанням. Симметричний загалом означає симетричний приблизно

0

$0$ , і, щоб запобігти подальшим контрприкладам, претензія про симетричні розподіли - це не те, що відповідає дійсності функції кумулятивного розподілу ймовірностей . Ваш "контрприклад" має симетрію щодо точки

μ \neq 0

$\mu \neq 0$ , а не щодо точки

0

$0$ .

— Діліп Сарват

@Dilip Коли визначення залежить від одного способу опису чогось, але це визначення може бути властивою тому чимось, тоді немає сенсу застосовувати визначення до іншої форми опису. У цьому випадку симетрія є властивістю розподілу , але це не означає, що всі описи цього розподілу (включаючи PDF та CDF) повинні бути "симетричними" однаковими способами. Застосовуючи симетрію PDF до CDF, ваш коментар плутає питання, а не роз'яснює його.

— whuber

shijing, @Procrastinator зауважив, що ви задавали багато питань, не приймаючи жодної відповіді. Це говорить про те, що ви можете бути незнайомі з тим, як працює цей сайт. Щоб усунути будь-яке непорозуміння, будь ласка, прочитайте відповідну частину нашого поширеного питання до кінця ? Це займе лише пару хвилин, і слідування його вказівкам підвищить цінність нашого сайту для вас.

— whuber

@whuber CDF - це одне з небагатьох описів, в якому розподіл слів насправді відбувається в назві, і я намагався уточнити, що властивість симетрії не відповідає CDF.

— Діліп Сарват

Відповіді:

Коротко: симетричний, коли і мають однакове розподіл для деякого дійсного числа . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Але досягнення цього в повній мірі вимагає певного відступу та узагальнення, оскільки це викликає багато неявних питань: чому це визначення "симетричного"? Чи можуть бути інші види симетрії? Який взаємозв'язок між розподілом та його симетріями, і, навпаки, який взаємозв'язок між "симетрією" та тими розподілами, які можуть мати цю симетрію?

Розглянуті симетрії - це відображення реальної лінії. Усі мають форму

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

для деякої постійної . $a$

Отже, припустимо, має цю симетрію принаймні для одного . Тоді випливає симетрія $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

показуючи , що є медіанної з . Аналогічно, якщо має очікування, то відразу випливає, що . Таким чином , ми , як правило , можна придавити легко. Навіть якщо ні, (а отже, сама симетрія) все одно однозначно визначається (якщо вона взагалі існує). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Щоб побачити це, нехай - будь-який центр симетрії. Тоді застосовуючи обидві симетрії, ми бачимо, що є інваріантним під перекладом . Якщо , розподіл повинен мати період , що неможливо, оскільки загальна ймовірність періодичного розподілу дорівнює або нескінченна. Таким чином, , показуючи, що є унікальним. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

Більш загально, коли - це група, яка вірно діє на дійсну пряму (і за розширенням на всі її підмножини Бореля), можна сказати, що розподіл "симетричний" (стосовно ), коли $G$ $X$ $G$

Пр [Х \in Е] = Пр [Х \in Е^{г}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

для всіх вимірюваних множин та елементів , де позначає зображення під дією . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Як приклад, нехай все ще є групою порядку , але тепер нехай його дія полягає в тому, щоб прийняти зворотне дійсне число (і нехай воно фіксує ). Стандартний лонормальний розподіл симетричний відносно цієї групи. Цей приклад можна зрозуміти як екземпляр відображувальної симетрії, коли відбулося нелінійне повторне вираження координат. Це говорить про зосередження уваги на перетвореннях, що поважають "структуру" реальної лінії. Структура, істотна для ймовірності, повинна бути пов'язана з множинами Бореля та мірою Лебега, обидва з яких можна визначити через (евклідову) відстань між двома точками. $G$ $2$ $0$

Карта, що зберігає відстань, за визначенням є ізометрією. Добре відомо (і легко, хоч і трохи залучено, продемонструвати), що всі ізометрії реальної лінії породжуються відбиттями. Отже, коли зрозуміємо, що "симетричний" означає симетричний щодо якоїсь групи ізометрій , група повинна бути породжена щонайменше одним відображенням, і ми побачили, що відображення однозначно визначається будь-яким симетричним розподілом стосовно неї. У цьому сенсі попередній аналіз є вичерпним і обґрунтовує звичну термінологію "симетричних" розподілів.

Між іншим, безліч багатоваріантних прикладів розподілів, інваріантних за групами ізометрій, надається шляхом розгляду «сферичних» розподілів. Вони є інваріантними при всіх обертаннях (відносно деякого нерухомого центру). Вони узагальнюють одновимірний випадок: "обертання" реальної лінії - це лише відображення.

Нарешті, варто зазначити, що стандартна конструкція - усереднення по групі - дає можливість отримувати навантаження симетричних розподілів. У випадку реальної прямої нехай породжується відображенням про точку , так що вона складається з елемента тотожності і цього відображення, . Нехай - будь-який розподіл. Визначте розподіл , встановивши $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Пр}_{Y} [Е] = \frac{1}{| Г |} \sum_{г \in Г} {Пр}_{Х} [Е^{г}] = ({Пр}_{Х} [Е] + {Пр}_{Х} [Е^{г}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

для всіх борелевская . Це явно симетрично, і легко перевірити, чи залишається він розподілом (усі ймовірності залишаються негативними, а загальна ймовірність - ). $E$ $1$

Гамма

Ілюструючи процес усереднення групи, PDF симетризованого розподілу гамми (з центром у ) зображено золотом. Оригінальна гамма синього кольору, а її відображення - червоного кольору. $a=2$

— дзижчати
джерело

(+1) Хочу додати, що в багатоваріантній обстановці визначення симетрії не є унікальним. У цій книзі є 8 можливих визначень симетричних багатоваріантних розподілів.

@Procrastinator Мені цікаво, що можна сказати під "не унікальним". AFAIK, все, що виправдовує назву "симетрія", в кінцевому підсумку стосується групової дії на простір. Цікаво було б побачити, які статистичні дії виявили різні види дій. Оскільки ця книга вийшла з друку і не доступна в Інтернеті, чи можете ви навести короткий приклад двох дійсно різних видів симетрії, розглянутих у цій книзі?

— whuber

Ваша інтуїція правильна, це пов’язано зі статистичними ознаками: Центральна симетрія

; Сферична симетрія

для все ортогональної матриці

. Я не можу згадати решту, але спробую взяти книгу в ці дні. За цим посиланням ви можете знайти деякі з них.

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@Procrastinator Дякую Зауважте, що два запропоновані вами приклади - це окремі випадки загального визначення, яке я подав: центральна симетрія породжує двоелементну групу ізометрій, а сферичні симетрії також є підгрупою всіх ізометрій. "Еліптична симетрія" в ланці - це сферична симетрія після афінного перетворення, і так є прикладом явища, на яке я вказував, з лонормальним прикладом. "Кутові симетрії" знову утворюють групу ізометрій. "Симетрія напівпростору" [sic] не є симетрією, але дозволяє дискретно відходити від неї: це нове.

— whuber

Відповідь буде залежати від того, що ви маєте на увазі під симетрією. У фізиці поняття симетрії є основним і стало дуже загальним. Симетрія - це будь-яка операція, яка залишає систему незмінною. У випадку розподілу ймовірностей це може бути переведено на будь-яку операцію яка повертає ту саму ймовірність . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

У простому випадку першого прикладу ви маєте на увазі симетрію відображення щодо максимуму. Якщо розподіл був синусоїдальним, то ви могли б мати умову , де - довжина хвилі або період. Тоді і все-таки відповідало б більш загальному визначенню симетрії. $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— Майкл Гофман
джерело