Чи стабільний розподіл Пуассона і чи існують формули інверсії для MGF?


11

По-перше, у мене виникає питання, чи є розподіл Пуассона "стабільним" чи ні. Дуже наївно (і я не надто впевнений у "стабільних" розподілах), я розробив розподіл лінійної комбінації розподілених Р. Пуассоном, використовуючи продукт MGF. Схоже, я отримую ще один Пуассон, параметр якого дорівнює лінійній комбінації параметрів окремих RV. Отож я роблю висновок, що Пуассон "стабільний". Що я пропускаю?

По-друге, чи існують формули інверсії для MGF, як для характерної функції?


4
Він закритий під (незалежними) сумами , але не довільними лінійними комбінаціями. Якщо ви включите свою роботу, я підозрюю, що ви зрозумієте, чому саме в цьому процесі; і, якщо ні, хтось зможе це вказати. Так, є деякі аналоги інверсії до характеристичних функцій. Що ви знаєте про трансформацію Лапласа та інтеграцію контуру Бромвіч?
кардинал

Добре, я повернусь до дошки для малювання. Я маю MGF i-го Пуассона як: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Таким чином, добуток n Poisson MGF дає мені: exp (sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)), і я беру нову лямбда = sum (i, 0, n) alpha_i * лямбда_і. Тепер я боюся, що я буду виглядати дурним за те, що я зробив очевидну помилку. - Я знаю про трансформацію Лапласа та інтеграцію контуру взагалі, але не контурну інтеграцію Бромвіша. - Чи рекомендуєте ви працювати з КЗ, а не з ПГФ взагалі? Це здається потужнішим.
Френк

Що означає у вашому коментарі? Крім того, оточіть математику-LaTeX знаками долара, щоб змусити її працювати (використовуючи \ exp, щоб "exp" вийшов правильним, і \ lambda зробити , \ sum для тощо) λ αiλ
jbowman

Так, я не дуже хороший у LaTex, але ось іде. Отже, моя лінійна комбінація RV: , а добуток їх MGF - це: , якщо я , якщо RV розподіляються як . Я використовував однаковий t для всіх RV, але мені потрібно використовувати . exp( n i=0αiλi(exp(ti)-1))Poisson(λi)ti
i=0nαiXi
exp(i=0nαiλi(exp(ti)1))
Poisson(λi)ti
Френк

5
Помилка полягає в тому, що MGF є а не e x p ( λ i ( e x p ( a i t ) - 1 ) ) e x p ( a i λ i ( e x p ( t ) - 1 ) )aiXiexp(λi(exp(ait)1))exp(aiλi(exp(t)1))
gui11aume

Відповіді:


13

Лінійні комбінації випадкових змінних Пуассона

Як ви підрахували, функція, що генерує момент розподілу Пуассона зі швидкістю - m X ( t ) = E e t X = e λ ( e t - 1 )λ

mX(t)=EetX=eλ(et1).

Тепер, давайте зосередимося на лінійній комбінації незалежних Пуассона випадкових величин і . Нехай . Тоді XYZ=aX+bY

mZ(t)=EetZ=Eet(aX+bY)=Eet(aX)Eet(bY)=mX(at)mY(bt).

Отже, якщо має rate а має rate , отримуємо і це взагалі не може бути записано у формі для деяких якщо .XλxYλyexp ( λ ( e t - 1 ) ) λ a = b = 1

mZ(t)=exp(λx(eat1))exp(λy(ebt1))=exp(λxeat+λyebt(λx+λy)),
exp(λ(et1))λa=b=1

Інверсія функцій, що генерують момент

Якщо функція, що генерує момент, існує в районі нуля, то вона також існує як комплексна функція в нескінченній смузі навколо нуля. Це дозволяє інверсії шляхом контурної інтеграції вступати в гру в багатьох випадках. Дійсно, перетворення Лапласа невід'ємної випадкової величини є звичайним інструментом в теорії стохастичних процесів, особливо для аналізу часу зупинки. Зауважте, що для реальних значень . Вам слід довести, як вправу, що перетворення Лапласа завжди існує для для негативних випадкових величин. T L ( s ) = m T ( - s ) s s 0L(s)=EesTTL(s)=mT(s)ss0

Інверсія може бути здійснена через інтеграл Бромвіча чи формулу інверсії . Імовірнісну інтерпретацію останнього можна знайти як вправу в кількох класичних текстах ймовірності.

Хоча це не пов'язане безпосередньо, вас може зацікавити і наступна примітка.

Дж. К. Кертісс (1942), примітка до теорії функцій породження моментів , Енн. Математика. Стат. , т. 13, ні. 4, стор. 430–433.

Асоційована теорія частіше розробляється для характерних функцій, оскільки вони є повністю загальними: вони існують для всіх розподілів без обмежень підтримки або моменту.


1
(+1) Чи є формула інверсії суто теоретичною чи вона реально використовується іноді?
gui11aume

2
@ gui11aume: використовується в місцях; але приклади, які ви часто зустрічаєте в тексті, - це як раз ті приклади, які вам не потрібні. :)
кардинал

Тож, мабуть, легше працювати з КФ, ніж з МФР? MGF не завжди існують, правда? Навіщо їм турбуватися?
Френк

@Frank: Педагогічно їх легше познайомити з учнями, які знають обчислення, але мають незначну основу в складних змінних. Коли вони існують, вони мають цілком аналогічні властивості CF. Вони відіграють важливу роль у деяких частинах теорії ймовірностей та теоретичної статистики, наприклад, великих відхиленнях та експоненціальному нахилі.
кардинал

1
@Frank: Це розподіли Levy стабільні, і єдиний з MGF - це нормальний розподіл. Дійсно, КФ є інструментом для вирішення цієї проблеми; можлива форма CF відома для всіх таких розподілів, але відповідні pdfs у закритій формі відомі лише у декількох примірниках. α
кардинал

6

Розподіли Пуассона стабільні за сумою. Вони тривіально нестабільні за лінійною комбінацією, оскільки ви можете отримати нецілі значення. Наприклад, якщо - Пуассон, є тривіально не Пуассоном.XX/2

Мені не відомі формули інверсії для MGF (але, мабуть, @cardinal).


2
(+1) Тому що мені подобаються прості ілюстративні докази та контрприклади, які негайно виводять на перший план суть справи.
кардинал

У мене питання щодо термінології. У статистиці я вивчав стабільні розподіли, які були межами розподілів, які задовольняли умові конвергенції, званій стабільним законом. Це суцільні ненормальні розподіли. Це розподіл для меж нормованого середнього Z, але центральна гранична теорема не застосовується до Z через хвостову поведінку розподілу населення. Власне, теорема центральної межі може належати до стійких законів, якщо певний параметр альфа = 2.
Майкл Р. Черник

1
Те, що ви тут називаєте стабільним, ближче під сумами, що мені здається більше схожим на термін нескінченно ділиться. У яких полях використовується термін стабільний для цього? Чи застосовується він у ймовірності та статистиці?
Майкл Р. Черник

1
aX1+bX2cX+d
Використовуючи наш веб-сайт, ви визнаєте, що прочитали та зрозуміли наші Політику щодо файлів cookie та Політику конфіденційності.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.