Лінійні комбінації випадкових змінних Пуассона
Як ви підрахували, функція, що генерує момент розподілу Пуассона зі швидкістю -
m X ( t ) = E e t X = e λ ( e t - 1 )λ
мХ( t ) = E et X= еλ ( ет- 1 ).
Тепер, давайте зосередимося на лінійній комбінації незалежних Пуассона випадкових величин і . Нехай . Тоді
ХYZ= a X+ b Y
мZ( t ) = E et Z= Е еt ( a X+ b Y)= Е еt ( a X)Е еt ( b Y)= мХ( а т ) мY( b t ).
Отже, якщо має rate а має rate , отримуємо
і це взагалі не може бути записано у формі для деяких якщо .ХλхYλуexp ( λ ( e t - 1 ) ) λ a = b = 1
мZ( t ) = досвід( λх( еa т- 1 ) )експ( λу( еб т- 1 ) )=експ( λхеa т+ λуеб т- ( λх+ λу) ),
досвід( λ ( ет- 1 ) )λa = b = 1
Інверсія функцій, що генерують момент
Якщо функція, що генерує момент, існує в районі нуля, то вона також існує як комплексна функція в нескінченній смузі навколо нуля. Це дозволяє інверсії шляхом контурної інтеграції вступати в гру в багатьох випадках. Дійсно, перетворення Лапласа невід'ємної випадкової величини є звичайним інструментом в теорії стохастичних процесів, особливо для аналізу часу зупинки. Зауважте, що для реальних значень . Вам слід довести, як вправу, що перетворення Лапласа завжди існує для для негативних випадкових величин. T L ( s ) = m T ( - s ) s s ≥ 0L ( s ) = E e- с ТТL ( s ) = mТ( - с )сs ≥ 0
Інверсія може бути здійснена через інтеграл Бромвіча чи формулу інверсії . Імовірнісну інтерпретацію останнього можна знайти як вправу в кількох класичних текстах ймовірності.
Хоча це не пов'язане безпосередньо, вас може зацікавити і наступна примітка.
Дж. К. Кертісс (1942), примітка до теорії функцій породження моментів , Енн. Математика. Стат. , т. 13, ні. 4, стор. 430–433.
Асоційована теорія частіше розробляється для характерних функцій, оскільки вони є повністю загальними: вони існують для всіх розподілів без обмежень підтримки або моменту.