Інтуїтивне пояснення одиничного кореня

Як би ви пояснили інтуїтивно, що таке одиничний корінь, у контексті тесту одиничного кореня?

Я роздумую над способами пояснення так, як це я заснував у цьому питанні .

Справа з одиничним коренем полягає в тому, що я знаю (мало, до речі), що тест одиничного кореня використовується для перевірки стаціонарності в часовому ряду, але це просто він.

Як би ви вирішили пояснити це непрофесійному чи людині, яка вивчила дуже основний курс ймовірності та статистики?

ОНОВЛЕННЯ

Я прийняв відповідь Валера, оскільки це найбільше відображає те, що я тут запитував. Але я закликаю всіх, хто прийшов сюди, також прочитати відповіді Патріка та Майкла, оскільки вони є природним «наступним кроком» у розумінні одиничного кореня. Вони використовують математику, але дуже інтуїтивно.

intuition unit-root

— Лукас Рейс
джерело

Я відхилив усі три поточні відповіді на це питання (Майкла Черника, Патріка Калдона та Уабера). Вважаючи разом, я вважаю, що вони дають глибоке розуміння одиничного кореня, від інтуїції до деяких основних математики. +1 для продуктивного питання.

— gung

Так, @gung, я дуже здивований якістю відповідей. Тепер це моє посилання №1, коли хтось запитує мене про Unit Root.

— Лукас Рейс

Я не можу конкурувати з Пухом, але [ось ще один графічний результат]. [1] Останні дві серії (R і E) не мають одиничного кореня і не є нерухомими. Ви можете бачити, як далеко вони пливуть навколо. [1]: stats.stackexchange.com/a/25481/7071 .

— Мастеров Димитрій Васильович

Відповіді:

133

Він щойно прийшов до мосту; і, не дивлячись, куди він іде, він споткнувся про щось, і ялиця шипшила з лапи в річку.

- Потурбуйте, - сказав Пух, коли він повільно плив під мостом, і він повернувся назад, щоб дістати ще одну ялинову шишку, яка мала рифму до неї. Але тоді він подумав, що замість цього він просто подивиться на річку, бо це був мирний день, тож він лежав і дивився на нього, і воно повільно сповзало під нього. . . і раптом там також вислизнула його ялицева шишка.

- Це смішно, - сказав Пух. "Я скинув його з іншого боку, - сказав Пух, - і він вийшов на цю сторону! Цікаво, чи зробить це знову?"

А. А. Мілн, будинок в Пуху Куточку (глава VI., В якій Пух винайшов нову гру і Ейєр приєднується.)

Ось картина течії по поверхні води:

Пухові палички 1

Стрілки показують напрямок потоку і з'єднуються потоками. Ялиновий конус, як правило, слідкує за потоком, в який він потрапляє. Але це не завжди робить це так само кожен раз, навіть коли він падає в одне місце в потоці: випадкові зміни на його шляху, викликані турбулентністю у воді, вітрі та інших капризах природи, штовхають його на сусідні потокові лінії.

Пухові палички 2

Тут ялиновий конус був скинутий біля правого верхнього кута. Він більш-менш слідкував за лініями потоку - які сходяться і відтікають вниз і вліво - але це мало проїжджало по дорозі.

"Авторегресивний процес" (процес AR) - це послідовність чисел, які, як вважається, ведуть себе як певні потоки. Двовимірна ілюстрація відповідає процесу, в якому кожне число визначається двома його попередніми значеннями - плюс випадкове "об'їзд". Аналогія проводиться шляхом інтерпретації кожної послідовної пари в послідовності як координати точки в потоці. Вмить миттєво, потік потоку змінює координати ялицевого конуса таким же математичним способом, який задається процесом AR.

Ми можемо відновити оригінальний процес із зображення на основі потоку, записавши координати кожної точки, зайнятої ялиновим конусом, а потім стерти всі, крім останнього числа, у кожному наборі координат.

Природа - і зокрема потоки - багатші та різноманітніші, ніж потоки, що відповідають процесам AR. Оскільки кожне число у послідовності передбачається, що таким же чином фіксовано залежить від своїх попередників - окрім випадкової частини об'їзду - потоки, що ілюструють процеси АР, мають обмежені структури. Вони справді можуть здаватися, що течуть, як потік, як це видно тут. Вони також можуть виглядати як закручені навколо стоку. Потоки можуть відбуватися в зворотному напрямку, здається, витікати назовні зі стоку. І вони можуть виглядати як устя двох потоків, що розбиваються разом: два джерела води стікають прямо один біля одного, а потім розбиваються на сторони. Але саме про це. Ви не можете мати, скажімо, потоку потоку з вихромами в сторони. Процеси AR занадто прості для цього.

Пухові палички 3

У цьому потоці ялиновий конус був скинутий у нижньому правому куті та швидко перенесений у вихру у верхньому правому куті, незважаючи на незначні випадкові зміни положення, які він зазнав. Але він ніколи не перестане рухатися через ті самі випадкові рухи, які рятують його від забуття. Координати ялинового конуса трохи рухаються - дійсно, їх, як правило, коливаються навколо координат центру вихру. У першому потоці потоку координати неминуче просувалися по центру потоку, який швидко захопив конус і відніс його швидше, ніж його випадкові об'їзди могли уповільнити його: вони мають тенденцію в часі. Навпаки, кружляння навколо вихру є прикладом нерухомогопроцес, в який вловлюється шишка ялиці; стікає вниз по потоку, в якому конус витікає з поля зору - тренд - не нерухомий.

Між іншим, коли потік для процесу АР відсувається вниз за течією, він також прискорюється. Це стає все швидше і швидше, коли конус рухається по ньому.

Характер потоку АР визначається декількома спеціальними, "характерними" напрямками, які, як правило, видно на діаграмі потоків: поточні лінії, схоже, сходяться до цих напрямків або йдуть з них. Завжди можна знайти стільки характерних напрямків, скільки є коефіцієнтів у процесі AR: два на цих ілюстраціях. З кожним характерним напрямком пов'язане число, його "корінь" або "власне значення". Коли розмір числа менше одиниці, потік у цьому характерному напрямку спрямований до центрального місця. Коли розмір кореня більше одиниці, потік прискорюється в стороні від центрального розташування. $1$ - переважають випадкові сили, що впливають на конус. Це "випадкова прогулянка". Конус може бродити повільно, але без прискорення.

(Деякі фігури відображають значення обох коренів у своїх заголовках.)

$1$

Пух та його друзі знайшли емпіричний тест стаціонарності:

Тепер одного дня Пух та Пятачок, Кролик та Роо разом грали в Poohsticks. Вони кинули свої палиці, коли Кролик сказав "Іди!" а потім вони поспішили на інший бік мосту, і тепер усі вони схилилися через край, чекаючи, чия палиця вийде першою. Але це вже давно прийшло, бо річка в цей день була дуже лінивою і навряд чи мав на увазі, якщо вона взагалі ніколи не потрапить.

"Я можу бачити моє!" - закричав Роо. "Ні, я не можу. Це щось інше. Чи бачиш ти, Порося? Я думав, що можу побачити своє, але я не міг. Ось так! Ні, це не. Чи ти можеш бачити свого, Пух? "

- Ні, - сказав Пух.

"Я очікую, що моя палиця застрягла", - сказав Ру. "Кролик, моя палиця застрягла. Ваша палиця застрягла, Порося?"

- Вони завжди займають більше часу, ніж ви думаєте, - сказав Кролик.

Цей уривок з 1928 р. Можна було б розтлумачити як найперший «Тест на одиницю Роо».

— каламут
джерело

Мої вибачення за останній рядок.

— whuber

+1 @whuber: Я думаю, ви встановили новий стандарт для цього сайту. Я буду сильно розчарований у будь-яких майбутніх інтуїтивних поясненнях, які не стосуються діаграм та Вінні-Пуха.

— Уейн

@whuber Дуже захоплююче пояснення одиничного кореня, що уникає математики. +1 для цього. Але схоже, що для пояснення знадобилася глава книги. Також читач повинен переконатись, що корінь 1 позначає межу стаціонарності. Для того, щоб показати, що я думаю, обов'язково було б включено деяку математику з поліноміальним рівнянням. Каламбур наприкінці "Unit Roo" замість "Unit Root" був безцінним.

— Майкл Черник

1

$1$

Ще одна чудова відповідь. Я часто довідаюсь речі, навіть коли я вже мав гідне розуміння теми під рукою, читаючи ваші дописи.

— Макрос

$AR(1)$

$v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
$v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
$\epsilon_i$ $N(0,1)$

Процес 1 не має одиничного кореня. Процес 2 має одиничний корінь. Ви можете підтвердити це, обчисливши характерні многочлени на відповідь Майкла.

$v_1 = 0$ $v_{10} = 5$

Що буде далі? Куди ми очікуємо послідовність?

$\epsilon_{i} = 0$ $v_{11} = 2.5$ $v_{12} = 1.25$ $v_{13} = 0.625$

$v_{11} = 5$ $v_{12} = 5$ $v_{13} = 5$

Отже, одна інтуїція полягає в тому, що коли "пробіг удачі / невдачі" підштовхує процес з одиничним коренем навколо, послідовність "застрягає в положенні" історичним добрим чи невдалим. Він все одно буде переміщатися навмання, але нічого "не повертає". З іншого боку, коли немає одиничного кореня і процес не вибухає, на процес виникає "сила", яка змусить процес повернутись у стару позицію, хоча випадковий шум все ще трохи битиме його навколо .

$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

— Патрік Калдон
джерело

хороша відповідь Патрік. Купальні приємні інтуїтивні аргументи, але не маючі математики.

— Майкл Черник

@Patrick Caldon: чудова відповідь також і дуже добре компліменти Майкла Черника. Як я вже говорив у своїй відповіді, мені також подобається цей "інтуїтивний математичний" спосіб пояснення!

— Лукас Рейс

+1: У ній не згадується Вінні-Пух, але він досить наочний.

— Уейн

Х_{т} = а Х_{т - 1} + е_{т}

$X_t= aX_{t-1} + e_t$

e_{t}

$e_t$

X

$X$

Х_{т} - а Х_{т - 1} = е_{т} .

$X_t-aX_{t-1} = e_t.$

$BX_t = X_{t-1}$ $X_t-aBX_t =e_t$

(1 - а Б) Х_{т} = е_{т} .

$(1-aB)X_t = e_t.$

1 - a x

$1-ax$

x = 1 / a

$x=1/a$

| a | < 1

$|a|\lt 1$

A R (1)

$AR(1)$

| a | > 1

$|a|\gt 1$

A R (1)

$AR(1)$

a = 1

$a=1$

x = 1 / 1 = 1

$x=1/1=1$

A R (1)

$AR(1)$ модель (в силу її лінійного характерного многочлена) є найпростішою для її ілюстрації.

— Майкл Черник
джерело

Я все ще намагаюся з'ясувати, чому все, що я читаю з цього приводу, ігнорує можливість

a \leq - 1

$a \le -1$

1

$1$

Можливо, це могло б більше зосередитись на інтуїції, але я не думаю, що це заслуговує пориву. З моєї точки зору, це насправді досить чіткий і стислий вислів одиничного кореня.

— gung

Я не думаю, що це робить Білл. Якщо a> 1 у відміненому значенні, корінь лежить поза одиничним колом. Отже, <-1 так само нестаціонарно, як і> 1. Всередині одиничного кола модель нерухома. Зовні він нестаціонарний. Одиничне коло - це межа. У своїй відповіді я повинен був поставити знак абсолютного значення навколо а. Чи моє пояснення не таке просте, як ви можете знайти? Хтось насправді заборонив це!

— Майкл Черник

@MichaelChernick: Я справді не знаю, чи можливі в усіх випадках інтуїтивні відповіді, які не містять математики, і "інтуїтивні математичні" відповіді, як і твої, теж приголомшливі! Намагання уникати математичних аргументів, на мою думку, є потужним інструментом не тільки для кращого розуміння статистичної концепції, але і для кращого розуміння математичних аргументів! ;)

— Лукас Рейс

Майкл, зауважи, що @Lucas - це ОП. :-)

— кардинал