Кореляція між X і XY

11

Якщо у мене є дві незалежні випадкові величини X і Y, яка кореляція між X і продуктом XY? Якщо це невідомо, мені було б цікаво знати хоча б те, що відбувається в конкретному випадку X і Y нормально з нульовим значенням, якщо це легше вирішити.

correlation

— Роберто
джерело

4

Що мотивує це питання? Цікаво, чи було б найкраще, якщо ми також тут звернемось до чогось іншого. Чи проводите ви дослідження, в якому з якоїсь причини ви створили змінну XY?

— gung - Відновіть Моніку

13

Рішення

Я вважаю, що правильним рішенням буде рішення, яке виражає - якщо це можливо - співвідношення з точки зору окремих властивостей змінних $X$ і . Обчислення кореляції буде включати в себе обчислення коваріації одночленним в і . Це економно зробити це все відразу. Просто спостерігайте за цим $Y$ $X$ $Y$

Коли і незалежні, і і $X$ $Y$ $i$ $j$ є ступенями, то і є незалежними; $X^i$ $Y^j$
Очікування продукту незалежних змінних є результатом їх очікувань.

Це дасть формули в термінах моментів і . $X$ $Y$

Це все, що там є.

Деталі

Напишіть тощо для моментів. Таким чином, для будь-яких чисел $\mu_i(X) = E(X^i)$ для яких обчислення мають сенс і дають кінцеві числа, $i,j,k,l$

\begin{aligned} Ков (Х^{i} Y^{j}, Х^{к} Y^{л}) & = Е (Х^{i} Y^{j} Х^{к} Y^{л}) - Е (Х^{i} Y^{j}) Е (Х^{к} Y^{л}) \\ = {мк}_{i + к} (Х) {мк}_{j + л} (Y) - {мк}_{i} (Х) {мк}_{к} (Х) {мк}_{j} (Y) {мк}_{л} (Y) . \end{aligned}

$\eqalign{ \operatorname{Cov}\left(X^iY^j, X^kY^l\right) &= E\left(X^iY^j X^kY^l\right) - E\left(X^iY^j\right) E\left(X^kY^l\right) \\&= \mu_{i+k}(X)\mu_{j+l}(Y) - \mu_i(X)\mu_k(X)\mu_j(Y)\mu_l(Y).}$

Зауважте, що дисперсія будь-якої випадкової величини є її коваріацією із самим собою, тому нам не потрібно робити спеціальних обчислень для дисперсій.

Тепер повинно бути очевидним, як обчислити моменти, пов’язані з одночленами, будь-якими силами, будь-якого обмеженого числа незалежних випадкових величин. Як додаток, застосуйте цей результат до визначення кореляції, яка є коваріацією, поділеною на квадратні корені дисперсій:

\begin{aligned} Кор (Х, Х Y) & = \frac{Ков (Х^{1} Y^{0}, Х^{1} Y^{1})}{\sqrt{Ков (Х^{1} Y^{0}, Х^{1} Y^{0}) Ков (Х^{1} Y^{1}, Х^{1} Y^{1})}} \\ = \frac{{мк}_{2} (Х) {мк}_{1} (Y) - {мк}_{1} (Х)^{2} {мк}_{1} (Y)}{\sqrt{({мк}_{2} (Х) - {мк}_{1} (Х)^{2}) ({мк}_{2} (Х) {мк}_{2} (Y) - {мк}_{1} (Х)^{2} {мк}_{2} (Y)^{2})}} . \end{aligned}

$\eqalign{\operatorname{Cor}(X,XY) &= \frac{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^1)}{\sqrt{\operatorname{Cov}(X^1Y^0, X^1Y^0)\ \operatorname{Cov}(X^1Y^1, X^1Y^1)}} \\ &=\frac{\mu_2(X)\mu_1(Y) - \mu_1(X)^2\mu_1(Y)}{\sqrt{\left(\mu_2(X)-\mu_1(X)^2\right)\left(\mu_2(X)\mu_2(Y)-\mu_1(X)^2\mu_2(Y)^2\right)}} . }$

Існують різні алгебраїчні спрощення, які ви можете вибрати, якщо хочете пов’язати це з очікуваннями, відхиленнями та коваріаціями оригінальних змінних, але їх проведення тут не дасть більше розуміння.

— дзижчати
джерело

14

Використовуючи закон тотальної коваріації та незалежності і , $X$ $Y$ Використовуючи закон сумарної дисперсії і знову незалежності,

\begin{aligned} Cov (X, X Y) & = E Cov (X, X Y | Y) + Cov (E X | Y, E X Y | Y) \\ = Е (Y Ков (Х, Х)) + Ков (Е Х, Y Е Х) \\ = Е (Y Вар Х) + Ков (Е Х, Y Е Х) \\ = Е Y Вар Х . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Cov}(X,XY) &=E\mbox{Cov}(X,XY|Y)+\mbox{Cov}(EX|Y,EXY|Y) \\&=E(Y\mbox{Cov}(X,X)) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=E(Y\mbox{Var}X) +\mbox{Cov}(EX,YEX) \\&=EY\mbox{Var}X. \end{align}$

Зверніть увагу, як

\begin{aligned} Вар (Х Y) & = Е Вар (Х Y | Y) + Вар Е (Х Y | Y) \\ = Е (Y^{2} (Вар Х | Y)) + Вар (Y (Е Х | Y)) \\ = Е (Y^{2} Вар Х) + Вар (Y Е Х) \\ = Е (Y^{2}) Вар Х + (Е Х)^{2} Вар Y \\ = Вар Х Вар Y + (Е Y)^{2} Вар Х + (Е Х)^{2} Вар Y . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{Var}(XY) &= E\mbox{Var}(XY|Y) + \mbox{Var} E(XY|Y) \\&= E(Y^2 (\mbox{Var}X|Y)) + \mbox{Var} (Y (EX|Y)) \\&= E(Y^2 \mbox{Var}X) + \mbox{Var} (Y EX) \\&= E(Y^2) \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y \\&= \mbox{Var}X\mbox{Var}Y+(EY)^2 \mbox{Var}X + (EX)^2\mbox{Var} Y . \end{align}$

Y

$Y$ можна трактувати як константу в будь-якому з перерахованих вище внутрішніх умовних очікувань, дисперсій або коваріацій.

\begin{aligned} корр (Х, Х Y) & = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{Вар Y}{(Е Y)^{2}} (1 + \frac{(Е Х)^{2}}{Вар Х})}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mbox{corr}(X,XY) &=\frac1{\sqrt{ 1 + \frac{\text{Var}Y}{(EY)^2}\left(1 + \frac{(EX)^2}{\text{Var}X}\right) }}. \end{align}$

Перевірка цього результату за допомогою моделювання:

> n <- 1e+6
> x <- rexp(n,2)-2
> y <- rnorm(n,mean=5)
> cv2 <- function(x) var(x)/mean(x)^2
> 1/sqrt(1+cv2(y)*(1+1/cv2(x)))
[1] 0.844882
> cor(x,x*y)
[1] 0.8445373

— Джарле Туфто
джерело

Добре, але я хотів би люб’язно вказати на кілька речей: 1. На третьому рядку другого набору рівнянь, чи має бути дужка, як у

E (Y^{2} Var X) + Var (Y E X)

$E(Y^2\text{Var}X)+\text{Var}(YEX)$ ? 2. Ви впевнені, що особа, яка поставила запитання, дотримується мотивів різних етапів? Наприклад, що

E Cov (X, X Y | Y) = E Y Cov (X, X)

$E\text{Cov}(X, XY|Y)=EY\text{Cov}(X,X)$ так тому

Y

$Y$ це даність. Я б запропонував мінімальне пояснення для деяких кроків.

— Антоні Пареллада

1

Так, я додав деякі дужки, яких бракувало, і якесь пояснення. Я маю визнати, що я віддаю перевагу відповіді @whuber.

— Jarle Tufto

5

Тоді в конкретному випадку X і Y є випадковими змінними з нульовими значеннями $\rho(XY,X) = 0$ тому що $\mathbb{E}(X^2Y) = \mathbb{E}[\mathbb{E}[ X^2Y | X]] = \mathbb{E}[X^2\mathbb{E}[Y|X]] = 0$ . Звідси $cov(XY,X) = \mathbb{E}(X^2Y) - \mathbb{E}(XY).\mathbb{E}(X) = 0$

— Кледу
джерело

-2

Лінійна кореляція між X і XY буде,

Corr (X, XY) = Cov (X, XY) / sqrt (var (X) * var (XY))

Cov (X, XY) = підсумовування ((середнє значення X (середнє значення X)) (середнє значення XY (XY)) / n

n - розмір вибірки; var (X) = дисперсія X; var (XY) = дисперсія XY

— Сем Гладіо
джерело

1

Питання стосується випадкових змінних , а не даних.

— whuber

як ми можемо знайти, корелюють чи ні 2 випадкові величини? Через дані лише право. Виправте мене, якщо я помиляюся. Вибачення.

— Сем Гладіо

Один обчислює теоретичну кореляцію, використовуючи математичні властивості випадкових величин. Це дуже те саме, що, скажімо, обчислення міцності мостової конструкції з використанням принципів ньютонівської механіки, порівняно з побудовою мостів та їх тестуванням: існують чіткі ролі для теорії та даних, і їх не слід плутати між собою .

— whuber