Стандартна помилка для середнього зразка біноміальних випадкових величин

44

Припустимо, я провожу експеримент, який може мати 2 результати, і я припускаю, що основним "справжнім" розподілом двох результатів є біноміальний розподіл з параметрами $n$ і $p$ : ${\rm Binomial}(n, p)$ .

Я можу обчислити стандартну помилку, $SE_X = \frac{\sigma_X}{\sqrt{n}}$ , від форми дисперсії ${\rm Binomial}(n, p)$ :

σ_{X}^{2} = n p q

$\sigma^{2}_{X} = npq$ де

q = 1 - p

$q = 1-p$ . Отже,

σ_{X} = \sqrt{n p q}

$\sigma_X=\sqrt{npq}$ . Для стандартної помилки я отримую:

S E_{X} = \sqrt{p q}

$SE_X=\sqrt{pq}$ , але я десь бачив, що

S E_{X} = \sqrt{\frac{p q}{n}}

$SE_X = \sqrt{\frac{pq}{n}}$ . Що я зробив не так?

binomial standard-error

— Френк
джерело

Ця стаття дуже корисна для розуміння стандартної помилки середнього впливового

— пункту.com/ Тренінг/…

З мого googling, виходить, що тісно пов'язаний предмет отримання довірчих інтервалів для біноміального розподілу є досить нюансованим і складним. Зокрема, схоже, що інтервали довіри, отримані за цією формулою, які були б "Wald Intervals" (див. En.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval ), ведуть себе досить погано і слід уникати цього. Для отримання додаткової інформації див. Jstor.org/stable/2676784?seq=1#metadata_info_tab_contents .

— aquirdturtle

58

Схоже, ви використовуєте двічі двома різними способами - і як розмір вибірки, і як кількість випробувань Бернуллі, які містять біноміальну випадкову змінну; щоб усунути будь-яку неоднозначність, я буду використовувати для позначення останнього. $n$ $k$

Якщо у вас є незалежних вибірок з розподілу , дисперсія середнього зразка їх вибірки дорівнює $n$ ${\rm Binomial}(k,p)$

v a r (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i}) = \frac{n v a r (X_{i})}{n^{2}} = \frac{v a r (X_{i})}{n} = \frac{k p q}{n}

${\rm var} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i} \right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} {\rm var}( X_{i} ) = \frac{ n {\rm var}(X_{i}) }{ n^2 } = \frac{ {\rm var}(X_{i})}{n} = \frac{ k pq }{n}$

де і - те саме середнє. Це випливає з тих пір $q=1-p$ $\overline{X}$

(1) , ${\rm var}(cX) = c^2 {\rm var}(X)$ для будь-якої випадкової величини, та будь-якої постійної . $X$ $c$

(2) дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій .

Стандартною помилкою є квадратний корінь дисперсії: $\overline{X}$ . Тому $\sqrt{\frac{ k pq }{n}}$

Коли , ви отримаєте формулу, яку ви вказали: $k = n$ $\sqrt{pq}$
$k = 1$ $\sqrt{\frac{pq }{n}}$

— Макрос
джерело

3

X

$X$

v a r (X) = p q

${\rm var}(X) = pq$

X

$X$

n

$n$

p

$p$

v a r (X) = n p q

${\rm var}(X) = npq$

2

Дякую! Ти підняв мою розгубленість. Вибачте, що це було так елементарно, я все ще вчусь :-)

— Френк

6

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

^{2}

$^2$

1

@MichaelChernick, я уточнив згадані вами деталі. Виходячи з опису проблеми, я зрозумів, що Френк знав ці факти, але ти маєш рацію, що майбутнім читачам було б більш навчально включати деталі.

— Макрос

2

Соль Лаго - У цьому випадку k = 1. Якщо ви перевернули монету 50 разів і обчислили кількість успіхів, а потім повторили експеримент 50 разів, то k = n = 50.

— Переворот

9

Заплутати два біноміальних розподіли легко:

розподіл кількості успіхів
розподіл частки успіхів

npq - кількість успіхів, тоді як npq / n = pq - відношення успішностей. Це призводить до різних стандартних формул помилок.

— Влад
джерело

6

Ми можемо подивитися на це таким чином:

$n$ $Y$ $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X_i$

$X_i$ $Y$

$Y$ $Y$

$pq$ $p$ $q = 1 – p$

$Y$ $V(Y) = V(\sum X_i) = \sum V(X_i)$ $V(X_i) = pq$ $n$ $V(Y) = \sum V(X_i) = npq$ $Y$ $npq$

$\hat p = \frac Y n$ $n$

$V(\frac Y n) = (\frac {1}{n^2})V(Y) = (\frac {1}{n^2})(npq) = pq/n$

$\hat p$ $\sqrt{pq/n}$

— Тарашанкар
джерело

$x$

x

$x$

V (\sum X_{i}) = \sum V (X_{i})

$V(\sum X_i)=\sum V(X_i)$

Існує помилка в останньому відрахуванні, V (Y / n) = (1 / n ^ 2) * V (Y) = (1 / n ^ 2) * npq = pq / n має бути правильним відрахуванням.

— Тарашанкар

Вибачте, я це представив, роблячи набір тексту. Сподіваємось, відсортовано зараз.

— Срібна рибка

1

X_{i}

$X_i$

2

Я думаю, що також є певна плутанина в початковому посту між стандартною помилкою і стандартним відхиленням. Стандартне відхилення - sqrt дисперсії розподілу; стандартна похибка - це стандартне відхилення оціночного середнього зразка від цього розподілу, тобто поширення засобів, які ви б спостерігали, якби ви зробили цей зразок нескінченно багато разів. Перший - це властива властивість розподілу; останнє - це показник якості вашої оцінки властивості (середнього) розподілу. Коли ви проводите експеримент з N випробувань Бернуї, щоб оцінити невідому ймовірність успіху, невизначеність вашої розрахункової p = k / N після побачення k успіхів є стандартною помилкою розрахункової пропорції, sqrt (pq / N), де q = 1 -п. Справжній розподіл характеризується параметром Р, справжньою ймовірністю успіху.

— Стен
джерело