Дія випадковості у детермінованому світі

15

У книзі Стівена Пінкера « Кращі ангели нашої природи» він зазначає це

Ймовірність - питання перспективи. Якщо розглядатись з достатньо близькою відстані, окремі події мають визначальні причини. Навіть гортання монети можна передбачити з початкових умов і законів фізики, і досвідчений фокусник може використовувати ці закони щоразу, щоб кидати голови. Однак, коли ми зменшуємо масштаб, щоб широкомасштабно переглянути велику кількість цих подій, ми бачимо суму величезної кількості причин, які іноді скасовують одна одну, а іноді вирівнюються в одному напрямку. Фізик і філософ Анрі Пуанкаре пояснив, що ми бачимо випадковість випадків у детермінованому світі або тоді, коли велика кількість чудових причин додає грізного ефекту, або коли невелика причина, яка уникає нашого повідомлення, визначає великий ефект, який ми не можемо пропустити .У випадку організованого насильства хтось може захотіти розпочати війну; він чекає сприятливого моменту, який може наступити чи не наступити; його ворог вирішує вступити чи відступити; кулі літають; бомби лопнули; люди вмирають. Кожна подія може визначатися законами нейронауки та фізики та фізіології. Але в сукупності, багато причин, які потрапляють у цю матрицю, іноді можна перекласти в екстремальні комбінації. (стор. 209)

Мене особливо цікавить жирне речення, але решту я надаю контексту. Моє запитання: чи є статистичні способи опису двох процесів, які описав Пуанкаре? Ось мої здогадки:

1) "Велика кількість кричущих причин додає до грізного ефекту". "Велика кількість причин" і "складання" звучать для мене як центральна межа теореми . Але в (класичному визначенні) CLT, причини повинні бути випадковими змінними, а не детермінованими ефектами. Чи є тут стандартний метод для наближення цих детермінованих ефектів до якоїсь випадкової змінної?

2) "Невелика причина, яка уникає нашого повідомлення, визначає великий ефект, який ми не можемо пропустити". Мені здається, ви могли б подумати про це як якусь приховану модель Маркова . Але (непомітні) ймовірності переходу стану в HMM - це саме те, ймовірності, яке за визначенням ще раз не детерміновано.

probability central-limit-theorem intuition

— Енді Маккензі
джерело

7

Цікава думка (+1).

У випадках 1) та 2) проблема однакова: ми не маємо повної інформації. І ймовірність - це міра браку інформації.

1) Неправильні причини можуть бути суто детермінованими, але які конкретні причини діють неможливо дізнатися детермінованим процесом. Подумайте про молекули в газі. Діють закони механіки, так що тут випадкового? Інформація, прихована нам: де яка молекула з якою швидкістю. Отже, CLT застосовується не тому, що в системі є випадковість, а тому, що в нашому представленні системи є випадковість .

2) У HMM є часова складова, яка не обов'язково присутня в цьому випадку. Моя інтерпретація така ж, як і раніше, система може бути невипадковою, але наш доступ до її стану має певну випадковість.

EDIT : Я не знаю, чи думав Пуанкаре про інший статистичний підхід для цих двох випадків. У випадку 1) ми знаємо варіальби, але не можемо їх виміряти, оскільки їх занадто багато, а вони занадто малі. У випадку 2) ми не знаємо змінних. В обох напрямках ви в кінцевому підсумку робите припущення та моделюєте спостережуване найкраще, що ми можемо, і досить часто ми припускаємо нормальність у випадку 2).

Але все ж, якби була одна різниця, я думаю, це було б появою . Якби всі системи визначалися сумою непорушних причин, то всі випадкові змінні фізичного світу були б гауссовими. Зрозуміло, що це не так. Чому? Тому що масштаб має значення. Чому? Оскільки нові властивості виникають із взаємодії менших масштабів, і ці нові властивості не повинні бути гауссовими. Насправді у нас немає статистичної теорії виникнення (наскільки я знаю), але, можливо, одного разу ми це зробимо. Тоді виправданим є різні статистичні підходи для випадків 1) та 2)

— gui11aume
джерело

1

Дякую за відповідь. Погодьтеся, обидва зводиться до того, що ми не маємо повної інформації - це хороший спосіб її формування. Однак я хотів би побачити відповідь, яка відрізняє два випадки більше. Що думав Пуанкаре?

— Енді Маккензі

Я бачу, що ви стурбовані. Я відредагував свою відповідь, щоб спробувати відповісти якнайкраще.

— gui11aume

4

Я думаю, ви занадто багато читаєте в заяві. Це, здається, лежить під припущенням, що світ детермінований і що люди моделюють його імовірнісно, тому що легше наблизити те, що відбувається цим шляхом, ніж пройти всі деталі фізики та будь-які інші математичні рівняння, які описують її. Я думаю, що давно дискутували про детермінізм проти випадкових ефектів, особливо між фізиком і статистиком. Мене особливо вразили наступні попередні речення до того, що ви накреслили жирним шрифтом. "Навіть гортання монети можна передбачити з початкових умов і законів фізики, і досвідчений фокусник може використовувати ці закони, щоб щоразу кидати голови". Коли я був аспірантом в Стенфорді наприкінці 1970-х років Персі Діаконіс статистиком і магом, а Джо Келлер фізиком насправді намагався застосувати закони фізики до монети, щоб визначити, на чому базуватиметься результат, що ґрунтується на важливих умовах щодо того, чи чи ні голови звернені вгору і точні; y як сила пальця пальця вражає монету. я думаю, що вони, можливо, це спрацювали. Але думати, що чарівник навіть із магічною підготовкою та статистичними знаннями перси діаконіса може перевернути монету, і вона щоразу піднімає голову, нерозумно. Я вважаю, що вони виявили, що неможливо повторити початкові умови, і я думаю, що застосовується теорія хаосу. Невеликі збурення в початковому стані мають великий вплив на політ монети і роблять результат непередбачуваним. Як статистик я б сказав, навіть якщо у світі детерміновані стохастичні моделі роблять кращу роботу прогнозування результатів, ніж складні детерміновані закони. Коли фізика проста, детерміновані закони можна і потрібно використовувати. Наприклад, гравітаційний закон Ньютона добре працює при визначенні швидкості, яку має об'єкт, коли він потрапляє на землю, опускаючись з 10 футів над землею, і використовуючи рівняння d = gt ви можете вирішити за час, необхідний для завершення падіння дуже точно, оскільки гравітаційна константа g була визначена з високим рівнем точності і рівняння застосовується майже точно. $^2$

— Майкл Р. Черник
джерело

2

Майкл Черник, вам може бути цікава ця стаття про Діаконіс.

— Cyan

Я б замінив речення "... люди моделюють його імовірнісно, тому що легше наблизити те, що відбувається таким чином ..." на "... люди моделюють це імовірнісно, тому що занадто складно включити крихітні деталі, які більшість часу не має значення, ... ". Крім того, ви використовуєте "практичний" підхід до більш філософського / концептуального питання. Теорія хаосу є лише проблемою "на практиці", оскільки ми не маємо довільно точних уявлень чисел. Ще одна проблема детермінованих законів - це те, що вони часто залежать від того, що ми не можемо виміряти.

— ймовірністьлогічний

1

Дякую Сіань. Я не бачив цієї конкретної статті, але я бачив декількох інших про Персі, і я досить добре його знав, як колишнього доцента, який навчав мене теорії ймовірностей і часових рядів, коли ми були обидва в кінці двадцятих і більш ранніх тридцятих років 1974-1978 років . Також у Персі був я і Майкл Коен (коли ми з Майклом Коеном були обома аспірантами) ролили кубики на тканині сотні чи тисячі разів, щоб підтвердити його теорію щодо того, що буде упередженим для цього типу гоління.

— Майкл Р. Черник

1

Як і будь-який хороший експериментатор, він не сказав нам, що вони були поголені, і це не так велика різниця в площі, щоб зробити це помітним для очей. Звичайно, якщо ви хотіли обдурити ігровий заклад із поголеними кістками, ви не могли б так голитися, щоб зробити його помітним, але ще не таким маленьким, що вам знадобиться назавжди, щоб отримати добрий виграш і уникнути загибелі гравців. З іншого боку, у нас були певні підозри щодо експерименту, оскільки не було сенсу намагатися підтвердити, що кожна сторона підійшла дуже близько 1/6-го часу.

— Майкл Р. Черник

Крім того, що робити експеримент, щоб показати, що ви можете змістити справедливу монету на користь голів, далеко не в змозі отримувати голову кожного разу. Статистики використовують лотерейні комісії для перевірки своїх машин, щоб переконатися в їх справедливості.

— Майкл Р. Черник

4

$2^{-N}$ $2^N$

$N$ $a_n \sim b_n$ $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$

(\binom{N}{N f}) \sim \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- N H (f))

${N\choose Nf}\sim\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-NH(f)\right)$

$H(f)=f\log\left(f\right)+(1-f)\log\left(1-f\right)$ $H(f)$ $\frac{1}{2}$

H (f) \approx - \log (2) + 2 (f - \frac{1}{2})^{2}

$H(f)\approx-\log\left(2\right)+2(f-\frac{1}{2})^2$

Отже, ми також маємо:

(\binom{N}{N f}) \sim 2^{N} \sqrt{\frac{1}{2 π N f (1 - f)}} \exp (- \frac{2}{N} (N f - \frac{N}{2})^{2})

${N\choose Nf}\sim 2^N\sqrt{\frac{1}{2\pi Nf(1-f)}}\exp\left(-\frac{2}{N}(Nf-\frac{N}{2})^2\right)$

$f$

— ймовірністьіслогічна
джерело

1

Дякую. Я здогадуюсь, що ОП не надто читає в з'єднанні жирного речення з CLT. Але чи можу я переконатися, що я це правильно зрозумів? Ви хочете сказати, що для великих N кількість комбінацій N речей, взятих Nf за один раз, приблизно дорівнює нормальній щільності з параметром дисперсії Nf (1-F) та середнім параметром N / 2? Також це лише асимптотична математична властивість, не пов'язана з вірогідністю? Це настільки ж дивовижно, як бачити версію центральної граничної теореми De Moivre - LaPlace з використанням приладу quincunx!

— Майкл Р. Черник

Дякую, дуже корисно думати про нормальний розподіл неімовірно. Однак я не розумію 1) як виникає ця перша межа і 2) в якому пункті ти робиш розширення серії Тейлор навколо.

— Енді Маккензі

1

a_{n} \sim b_{n}

$a_n \sim b_n$

a_{n} / b_{n} \to 1

$a_n / b_n \to 1$

Правки виглядають краще. Однак у першому рівнянні відображення все ще має бути відсутній термін. :)

— кардинал

\log (N)

$\log(N)$

0

Цитата з книги Пінкера та ідея детермінованого світу повністю ігнорують Квантову Механіку та принцип невизначеності Гейзенберга. Уявіть, що ви поставите невелику кількість чогось радіоактивного біля детектора та впорядкуйте величини та відстані, щоб було 50% шансу виявити розпад протягом заздалегідь визначеного часового інтервалу. Тепер підключіть детектор до реле, яке зробить щось надзвичайно важливе, якщо виявлено занепад, і спрацьовуйте з пристроєм один раз і лише один раз.

Ви створили ситуацію, коли майбутнє за своєю суттю непередбачуване. (Цей приклад викладений з опису, який викладав фізику другокласника або молодшого курсу на MIT ще в середині 1960-х.)

— Еміль Фрідман
джерело