Яка різниця між функцією, що генерує момент, і функцією, що генерує ймовірність?

Я плутаю між двома термінами "функція, що генерує ймовірність", і "функція, що генерує момент". Чим ці терміни відрізняються?

Функція, що генерує ймовірність, зазвичай використовується для (негативних) цілочисельних випадкових величин, але насправді є лише перепакуванням функції, що генерує момент. Таким чином, вони містять однакову інформацію.

Нехай - невід’ємна випадкова величина. Тоді (див. Https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) функція генерування ймовірностей визначається як і функцією, що генерує момент, є Тепер визначимо так, що . Тоді Отже, щоб зробити висновок, співвідношення є просто: G ( z ) = E z X M X ( t ) = E e t X log z = t e t = z G ( z ) = E z X = E ( e t ) X = E e t X = M X ( t ) = M X ( log z ) $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@Carl пише в коментарі про цю мою формулу "... що правда, за винятком випадків, коли вона помилкова", тому мені потрібно мати деякі коментарі. Звичайно, рівність передбачає, що обидва визначені, і потрібно вказати домен для змінної . Я вважав, що посада є досить чіткою без цих формальностей, але так, іноді я занадто неформальний. Але є ще один момент: так, функція генерування ймовірностей здебільшого використовується для (невід'ємних аргументів) функцій масової ймовірності, звідки походить назва. Але у визначенні немає нічого, що передбачає це, воно також може бути використане для будь-якої неотрицательной випадкової величини! Як приклад, візьмемо експоненціальний розподіл зі швидкістю 1, можемо обчислити $G(z) = M_X(\log z)$G ( z ) = E z X = ∫ ∞ 0 z x e - $z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$ яка може бути використана для всіх цілей, ми використовуємо функцію генерування моменту, і ви можете перевірити, чи взаємозв'язки між двома функціями виконані. Зазвичай ми цього не робимо, ймовірно, практичніше використовувати ті самі визначення з (можливо) негативними, як і з негативними змінними. Але це не вимушене математикою.

Давайте визначимо спочатку обидва, а потім уточнимо різницю.

1) У теорії ймовірностей та статистиці функція, що генерує момент (mgf) реальної значення випадкової величини, є альтернативною специфікацією її розподілу ймовірностей.

2) У теорії ймовірностей функція, що генерує ймовірність (pgf) дискретної випадкової величини, є поданням ряду потужностей (функція, що генерує) функції масової ймовірності випадкової величини.

Mgf можна розглядати як узагальнення pgf. Різниця полягає в тому, що функція генерації ймовірності застосовується до дискретних випадкових змінних, тоді як функція, що генерує момент, застосовується до дискретних випадкових змінних, а також до деяких безперервних випадкових величин. Наприклад, обидва можуть бути застосовані до розподілу Пуассона, оскільки це дискретно. Дійсно, вони дають результат тієї ж форми; . Лише mgf застосовується до нормального розподілу, і ні mgf, ні pgf не застосовуються до розподілу Коші, але з дещо інших причин.$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Як вказує @kjetilbhalvorsen, pgf застосовується до негативних, а не лише до дискретних випадкових величин. Таким чином, поточний запис у Вікіпедії у функції генерування ймовірностей має помилку пропуску, і його слід вдосконалити.