“Абсолютно неперервна випадкова величина” проти “Неперервна випадкова величина”?

У книзі "Граничні теоретичні теорії ймовірностей" Валентина В. Петрова я побачив розмежування між визначеннями розподілу як "безперервний" та "абсолютно неперервний", який зазначено так:

$(*)$ "... Розподіл випадкової величини як кажуть, є безперервним, якщо для будь-якого кінцевого чи підрахункового набору точок реальної прямої. Це сказано бути абсолютно безперервним, якщо для всіх борелівських множин Лебега вимірюють нуль ... " $X$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$

Мені знайома концепція:

$(\#)$ "Якщо випадкова змінна має безперервну функцію сукупного розподілу, вона абсолютно безперервна."

$\textbf{My questions are:}$ чи два описи про "абсолютну безперервність" у та говорять про одне й те саме? Якщо так, то як я можу перевести одне пояснення до іншого? $(*)$ $(\#)$

Дякую!

probability distributions random-variable

— Тянь
джерело

Стандартний приклад безперервного, але не абсолютно безперервного розподілу обговорюється на stats.stackexchange.com/questions/229556/… , де він схоплений і код подається для вибірки з нього.

— whuber

Описи різняться: правильний лише перший . Ця відповідь пояснює, як і чому. $(*)$

Постійні дистрибуції

"Постійний" розподіл є безперервним у звичайному розумінні безперервної функції . Одне визначення (зазвичай перше, з ким стикаються люди у своїй освіті) полягає в тому, що для кожного і для будь-якого числа існує (залежно від і ), для якої значення на - сусідство змінюється не більше ніж на від . $F$ $x$ $\epsilon\gt 0$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F(x)$

Це короткий крок до цього, щоб продемонструвати, що коли безперервний - розподіл випадкової величини , то для будь-якого числа . Зрештою, визначення безперервності означає, що ви можете зменшити щоб зробити таким же малим, як і будь-який і оскільки (1) ця ймовірність ні менше і (2) може бути довільно малим, випливає, що . Рахункова адитивність ймовірності розширює цей результат будь-якої кінцеву або рахункове безліч . $F$ $X$ $\Pr(X=x)=0$ $x$ $\delta$ $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ $\epsilon \gt 0$ $\Pr(X=x)$ $\epsilon$ $\Pr(X=x)=0$ $B$

Абсолютно безперервні дистрибуції

Усі функції розподілу визначають позитивні, кінцеві міри визначені $F$ $\mu_F$

μ_{F} ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$

Абсолютна безперервність - це концепція теорії мір. Одна міра абсолютно неперервна відносно іншого запобіжного (обидва визначені на одній і тій же сигма - алгебри) , коли для будь-якого вимірного безлічі , означає . Іншими словами, відносно , немає "малих" (міра нульових) наборів, яким призначає "велику" (ненульову) ймовірність. $\mu_F$ $\lambda$ $E$ $\lambda(E)=0$ $\mu_F(E)=0$ $\lambda$ $\mu_F$

Ми візьмемо як звичайну міру Лебега, для якої - довжина інтервалу. У другій половині зазначено, що міра ймовірності абсолютно безперервно щодо міри Лебега. $\lambda$ $\lambda((a,b]) = b-a$ $(*)$ $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

Абсолютна спадкоємність пов'язана з диференційованістю. Похідне однієї міри відносно іншої (у якийсь момент ) - це інтуїтивна концепція: візьміть набір вимірюваних мікрорайонів які скорочуються до і порівняйте два заходи в цих сусідствах. Якщо вони завжди наближаються до однієї межі, незалежно від того, яка послідовність мікрорайонів обрана, то ця межа є похідною. (Є технічна проблема: вам потрібно обмежити ці мікрорайони, щоб вони не мали "патологічних" форм. Це можна зробити, вимагаючи, щоб кожен мікрорайон займав незначну частину регіону, в якому він знаходиться.) $x$ $x$ $x$

Диференціація в цьому сенсі полягає саме в тому, що питання в Що таке визначення ймовірності при безперервному розподілі? - адресація.

Запишемо для похідної щодо . Відповідна теорема - це мір-теоретична версія Фундаментальної теореми обчислення --дослідження $D_\lambda(\mu_F)$ $\mu_F$ $\lambda$

$\mu_F$ абсолютно безперервно щодо якщо і лише тоді, коли для кожного вимірюваного набору . [Рудін, теорема 8.6] $\lambda$
$μ_{F} (E) = \int_{E} (D_{λ} μ_{F}) (x) d λ$ $\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$ $E$

Іншими словами, абсолютна безперервність ( по відношенню до ) еквівалентна існуванню функції щільності . $\mu_F$ $\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

Підсумок

Розподіл є безперервним, коли безперервний як функція: інтуїтивно він не має "стрибків". $F$ $F$
Розподіл абсолютно безперервний, коли він має функцію щільності (стосовно міри Лебега). $F$

Про те, що два види безперервності не є рівнозначними , демонструються приклади, наприклад, описаний на https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . Це відома функція Кантора . Для цієї функції майже скрізь горизонтальний (як його графік робить простим), звідки майже скрізь дорівнює нулю, і тому . Це, очевидно, не дає правильного значення (відповідно до аксіоми загальної ймовірності). $F$ $D_\lambda(\mu_F)$ $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$ $1$

Коментарі

Практично всі розподіли, використовувані в статистичних додатках, абсолютно неперервні, ніде не безперервні (дискретні) або їх суміші, тому різницю між безперервністю та абсолютною безперервністю часто ігнорують. Однак, якщо не оцінити цю відмінність, це може призвести до каламутних міркувань та поганої інтуїції, особливо у тих випадках, коли суворість є найбільш потрібною: а саме тоді, коли ситуація заплутана чи неінтуїтивна, тож ми покладаємось на математику, щоб підвести нас до корисних результатів. Ось чому ми зазвичай на практиці не робимо великої кількості цього матеріалу, але кожен повинен знати про це.

Довідково

Рудін, Вальтер. Реальний і комплексний аналіз . McGraw-Hill, 1974: розділи 6.2 (абсолютна безперервність) та 8.1 (похідні заходів).

— дзижчати
джерело

В інших додатках не абсолютно тривають дистрибуції. Один із прикладів - в (деяких) динамічних системах, де є багато підкови у смайлів, які породжують розповсюдження з такими властивостями, як розподіл Кантора.

— kjetil b halvorsen