Яке значення функції у статистиці?

У моєму класі обчислення ми зіткнулися з функцією , або "кривою дзвону", і мені сказали, що в статистиці вона часто застосовується.$e^{-x^2}$

З цікавості хочу запитати: чи справді важлива в статистиці функція ? Якщо так, то що це з приводу що робить його корисним та які є його додатки?$e^{-x^2}$$e^{-x^2}$

Я не зміг знайти багато інформації про функцію в Інтернеті, але, провівши деякі дослідження, я знайшов зв’язок між кривими дзвінка взагалі та чимось, що називається нормальним розподілом . Сторінка Вікіпедії пов'язує ці типи функцій із додатком статистики, виділяючи мною, що говорить:

"Нормальний розподіл вважається найбільш помітним розподілом ймовірностей у статистиці. Є кілька причин для цього: 1 По-перше, нормальний розподіл виникає з центральної граничної теореми, яка стверджує, що в м'яких умовах намальована сума великої кількості випадкових величин від того ж розподілу розподіляється приблизно нормально, незалежно від форми вихідного розподілу ".

Отже, якщо я збираю велику кількість даних з якогось опитування чи подібного, вони можуть бути розподілені однаково між такою функцією, як ? Функція є симетричною, наскільки її симетричність, тобто її корисність для нормального розподілу, що робить її такою корисною у статистиці? Я просто міркую.$e^{-x^2}$

Загалом, що робить корисним у статистиці? Якщо нормальний розподіл є єдиною областю, то що робить унікальним або особливо корисним серед інших функцій типу гаусса при нормальному розподілі? e - x $e^{-x^2}$$e^{-x^2}$

Причиною того, що ця функція є важливою, є насправді нормальний розподіл та його тісно пов'язаний супутник, центральна межа теореми (у нас є деякі хороші пояснення CLT в інших питаннях тут).

У статистиці CLT зазвичай може використовуватися для обчислення ймовірностей приблизно, роблячи такі твердження, як "ми на 95% впевнені, що ..." можливо (значення "95% впевнені" часто неправильно зрозуміло, але це вже інше).

Функція - це (масштабована версія) функція щільності нормального розподілу. Якщо випадкову кількість можна змоделювати за допомогою нормального розподілу, ця функція описує, наскільки ймовірні різні можливі значення зазначеної кількості. Результати в регіонах з високою щільністю є більш імовірними, ніж результати в регіонах з низькою щільністю.$\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$

і σ - параметри, що визначають розташування та масштаб функції густини. Він симетричний приблизно μ , тому зміна μ означає, що ви зміщуєте функцію вправо або вліво. σ визначає значення функції щільності при її максимальному рівні ( x = $\mu$$\sigma$$\mu$$\mu$$\sigma$$x=\mu$ ) і як швидко вона переходить до 0, коли відходить від μ . У цьому сенсі зміна σ змінює масштаб функції.$x$$\mu$$\sigma$

Для конкретного вибору $\mu=0$ і щільність (пропорційна)e - x 2 . Це не особливо цікавий вибір цих параметрів, але це має перевагу, що дає функцію щільності, яка виглядає дещо простіше, ніж усі інші.$\sigma=1/\sqrt{2}$$e^{-x^2}$

З іншого боку, ми можемо перейти від до будь-якої іншої нормальної щільності шляхом зміни змінних x = u - $e^{-x^2}$. Причина того, що ваш підручник говорить, щоe-x2, а неexp(-$x=\frac{u-\mu}{\sqrt{2}\sigma}$$e^{-x^2}$, дуже важливою функцією є те, щоe$\exp\Big(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Big)$ простіше писати.$e^{-x^2}$

Ви маєте рацію, нормальний розподіл або гаусса - це масштабований і зміщений , тому важливість досвіду ( - x 2$\exp (-x^2)$$\exp (-x^2)$ здебільшого випливає з того, що це по суті нормальний розподіл.

А нормальний розподіл важливий головним чином тому, що ("за умов легкої регулярності") сукупність багатьох незалежних і однаково розподілених випадкових величин наближається до нормального, коли "багато" наближається до нескінченності.

Не все зазвичай розподілено. Наприклад, результатів ваших опитувань може бути не принаймні, якщо відповіді навіть не в безперервній шкалі, а щось на зразок цілих чисел 1–5. Але середнє значення результатів зазвичай розподіляється за повторним відбором, оскільки середнє значення - це лише масштабована (нормалізована) сума, і окремі відповіді не залежать одна від одної. Припустимо, що зразок є досить великим, оскільки, строго кажучи, нормальність з'являється лише тоді, коли розмір вибірки стає нескінченним.

Як ви бачите з прикладу, нормальний розподіл може з’являтися в результаті процесу оцінки або моделювання, навіть коли дані зазвичай не поширюються. Тому нормальні розподіли є скрізь у статистиці. У байєсівській статистиці багато задніх розподілів параметрів приблизно нормальні, або їх можна вважати такими, що є.

$n$$0$$1/n$$\sqrt{n}$