Помилка нормального наближення до рівномірного розподілу суми

Один наївний метод наближення до нормального розподілу - це об'єднання, можливо, IID випадкових величин, рівномірно розподілених на , потім ревітер та повторна шкала, спираючись на центральну граничну теорему. ( Бічна примітка : Існують більш точні методи, такі як перетворення Бокса - Мюллера .) Сума випадкових величин IID відома як рівномірний розподіл суми або розподіл Ірвіна-Холла . $100$ $[0,1]$ $U(0,1)$

Наскільки велика помилка в наближенні рівномірного розподілу суми звичайним розподілом?

Щоразу, коли цей тип питань виникає для апроксимації суми випадкових змінних IID, люди (включаючи мене) підносять теорему Беррі – Ессена , що є ефективною версією теореми про центральний межа, враховуючи, що існує третій момент:

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{C ρ}{σ^{3} \sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$

де $F_n$ - функція кумулятивного розподілу для масштабованої суми $n$ випадкових величин IID, $\rho$ - абсолютний третій центральний момент $E|(X-EX)^3|$ , $\sigma$ є стандартне відхилення, а $C$ є абсолютною константою , яка може бути прийнята рівною $1$ або навіть $1/2$ .

Це незадовільно. Мені здається, що оцінка Беррі-Ессена найбільш близька до різких по біноміальних розподілах, які мають дискретний характер, з найбільшою помилкою $0$ при симетричному біномальному розподілі. Найбільша помилка трапляється при найбільшому стрибку. Однак рівномірний розподіл суми не має стрибків.

Числові тести дозволяють припустити, що помилка скорочується швидше, ніж $c/\sqrt n$ .

Використовуючи $C=1/2$ , оцінка Беррі-есе є

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{32}}{\frac{1}{{\sqrt{12}}^{3}} \sqrt{n}} \approx \frac{0.650}{\sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$

яка для становить близько , і , відповідно. Дійсні максимальні різниці для приблизно , та відповідно, що значно менше і, здається, падають як замість $n=10,20,40$ $0.205$ $0.145$ $0.103$ $n=10, 20, 40$ $0.00281$ $0.00139$ $0.000692$ $c/n$ . $c/\sqrt n$

— Дуглас Заре
джерело

Якщо розширити розподіл суми в розширенні Еджворта , ви виявите, що

рівномірно в

як

(оскільки рівномірний розподіл симетричний), тому

звучить прямо. Через

F_{n} (x) = Φ (x) + n^{- 1} g (x) + o (n^{- 1})

$F_n(x)=\Phi(x)+n^{-1}g(x)+o(n^{-1})$

x

$x$

n \to \infty

$n\rightarrow\infty$

c / n

$c/n$

o (n^{- 1})

$o(n^{-1})$ термін, що не дає вам обмеження ...

— MånsT

Дякуємо, що, схоже, це пояснює схему

для багатьох інших дистрибутивів.

c / n

$c/n$

— Дуглас Заре

Нехай буде iid випадковими змінними і розглянемо нормоване суму $U_1, U_2,\dots$ $\mathcal U(-b,b)$ і пов'язана з ниминорма

S_{n} = \frac{\sqrt{3} \sum_{i = 1}^{n} U_{i}}{b \sqrt{n}},

$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$

sup

$\sup$

де

- розподіл

δ_{n} = sup_{x \in R} | F_{n} (x) - Φ (x) |,

$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$

F_{n}

$F_n$

S_{n}

$S_n$

Лемма 1 ( Успенський ): Триває наступне обмеження на . $\delta_n$

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} + \frac{1}{π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} \exp (- π^{2} n / 24) .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$

Доказ . Див. Й. В. Успенського (1937), Вступ до математичної ймовірності , Нью-Йорк: McGraw-Hill, с. 305.

Пізніше це було покращено Р. Шерманом до наступного.

Лема 2 ( Шерман ): Наступне поліпшення на границі Успенського має місце.

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} - (\frac{π}{180} + \frac{1}{7.5 π n}) e^{- π^{2} n / 24} + \frac{1}{(n + 1) π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} e^{- π^{2} n / 24} .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$

Доведення : Див. Р. Шерман, Помилка нормального наближення до суми N випадкових величин , Biometrika , vol. 58, ні. 2, 396–398.

$(\sin x) / x$

— кардинальний
джерело

N = n

$N=n$

@Procrastinator: Хороший улов.

— кардинал

2

$2$