Отримайте спільний розподіл від парного граничного розподілу

Припустимо, що у нас є 3 випадкові величини , і ми знаємо парний граничний розподіл , але ми нічого не знаємо (наприклад, умовна незалежність). Чи можемо ми отримати спільний розподіл $X_1,X_2,X_3$ $P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$ $P(X_1,X_2,X_3)$ ?

probability distributions

— зоряний1990
джерело

Ні.

Розглянемо триваріантне розподіл з двовимірним (стандартним, незалежним) нормальним запасом, але з половиною октантів, що мають 0 ймовірності, а половина має подвійну ймовірність. Зокрема, розглянемо октанти ---, - ++, + - +, ++ - мають подвійну ймовірність.

Тоді біваріантні межі відрізняються від рівня, який ви отримаєте з трьома стандартними звичайними змінними. Дійсно, існує нескінченність триваріантних розподілів, які б давали однакові двовимірні запаси

Як в коментарях зазначає Діліп Саварте, він відповів, по суті, тим самим прикладом у відповіді (але перевертаючи октанти, які подвоєні та нульові), і визначає це більш формально. Вюбер згадує приклад із залученням змінних Бернуллі, які (у випадку триваріанта) виглядають так:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... де кожен биваріантний запас

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4

і так було б еквівалентно випадку трьох незалежних змінних (або справді трьох з точно зворотною формою залежності).

Тісно пов'язаний приклад, який я спочатку почав писати про залучену триваріантну форму з чергуванням "скибочок" у шаблоні шашок більшої та меншої ймовірності (узагальнення звичайного нуля та подвійного).

Таким чином, ви не можете обчислити триваріат із двовимірних запасів взагалі.

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

X_{i}

$X_i$

(1 / 2)

$(1/2)$

X_{i}

$X_i$

+ + +, + - -, - + -, - - +

$+++, +--, -+-, --+$

Але, у менш штучних випадках, можливо, якісь межі вдасться зробити?

— kjetil b halvorsen

тут повинно бути рішення копули. Теорема Скляра має розширення на n-мірний випадок, і там у вас є лише маргінали, а не біваріантні маргінали, які мають більше інформації

— Аксакал

Аксакал Сама копула повністю вказує структуру залежності, а не границі. Те, що ви можете зберігати маргінали, але змінювати копулу, тут є простішою версією тієї ж проблеми.

— Glen_b -Встановити Моніку