Плутанина щодо кригінгу

Я читав цю статтю у Вікіпедії, пов’язану з кригінгом. Я не розумів тієї частини, коли це говорить

Крігінг обчислює найкращий лінійний неупереджений оцінювач , таким чином, що відхилення кригинга мінімізується при умові неупередженості. Я не отримав деривацію, а також як зменшення дисперсії. Будь-які пропозиції?$\hat Z (x_0)$$Z(x_0)$

Спеціально, я не отримав ту частину, де застосовується мінімізовано за умови неупередженості.

Я думаю, це мало бути

E [Z '(x0) -Z (x0)] замість E [Z' (x) -Z (x)] чи не так. 'еквівалентно капелюху у статті вікі. Також я не зрозумів, як виводиться помилка крігінгу

Припустимо, - вектор, який вважається багатовимірним розподілом невідомого середнього та відомої матриці дисперсії-коваріації . Ми спостерігаємо з цього розповсюдження і бажаємо передбачити з цієї інформації, використовуючи неупереджений лінійний предиктор:$\left(Z_0, Z_1, \ldots, Z_n\right)$$(\mu, \mu, \ldots, \mu)$$\Sigma$$\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ $z_0$

• Лінійний означає, що прогноз повинен приймати форму для визначених коефіцієнтів . Ці коефіцієнти можуть залежати максимум від того, що відомо заздалегідь: а саме записів .$\hat{z_0} = \lambda_1 z_1 + \lambda_2 z_2 + \cdots + \lambda_n z_n$$\lambda_i$$\Sigma$

Цей предиктор також можна вважати випадковою змінною .$\hat{Z_0} = \lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n$

• Незаангажований означає, що очікування дорівнює його (невідомому) середньому$\hat{Z_0}$$\mu$ .

Виписування речей дає деяку інформацію про коефіцієнти:

$$\eqalign{ \mu &= E[\hat{Z_0}] = E[\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n] \\ &= \lambda_1 E[Z_1] + \lambda_2 E[Z_2] + \cdots + \lambda_n E[Z_n] \\ &= \lambda_1 \mu + \cdots + \lambda_n \mu \\ &= \left(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n\right) \mu. \\ }$$

Другий рядок обумовлений лінійністю очікування, а все інше - проста алгебра. Оскільки ця процедура, мабуть, працює незалежно від значення , очевидно, коефіцієнти повинні дорівнювати одиниці. Записавши коефіцієнти у векторні позначення , це можна акуратно записати .$\mu$$\lambda = (\lambda_i)'$$\mathbf{1}\lambda=1$

Серед безлічі всіх таких неупереджених лінійних предикторів ми шукаємо такий, який відхиляється якнайменше від реальної величини , виміряної в середньому квадраті кімнати. Це, знову ж таки, обчислення. Він спирається на біліарність та симетрію коваріації, застосування якої відповідає за підсумки у другому рядку:

$$\eqalign{ E[(\hat{Z_0} - Z_0)^2] &= E[(\lambda_1 Z_1 + \lambda_2 Z_2 + \cdots + \lambda_n Z_n - Z_0)^2] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \text{var}[Z_i, Z_j]-2\sum_{i=1}^n\lambda_i \text{var}[Z_i, Z_0] + \text{var}[Z_0, Z_0] \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \Sigma_{i,j} - 2\sum_{i=1}^n\lambda_i\Sigma_{0,i} + \Sigma_{0,0}. }$$

Звідси коефіцієнти можна отримати, мінімізуючи цю квадратичну форму з урахуванням (лінійного) обмеження $\mathbf{1}\lambda=1$. Це легко вирішується методом множників Лагранжа, отримуючи лінійну систему рівнянь, "рівняння Кріґінга".

У додатку $Z$це просторовий стохастичний процес ("випадкове поле"). Це означає, що для будь-якого заданого набору фіксованих (не випадкових) локацій$\mathbf{x_0}, \ldots, \mathbf{x_n}$, вектор значень $Z$ у цих місцях, $\left(Z(\mathbf{x_0}), \ldots, Z(\mathbf{x_n})\right)$є випадковим із деяким різновидовим розподілом. Пишіть$Z_i = Z(\mathbf{x_i})$і застосувати вищевикладений аналіз, припускаючи засоби процесу взагалі$n+1$ локації $\mathbf{x_i}$є однаковими і припускаючи матрицю коваріації значень процесу при них$n+1$ локації відомі з певністю.

Давайте інтерпретувати це. За припущеннями (включаючи постійну середню і відому коваріацію) коефіцієнти визначають мінімальну дисперсію, досяжну будь-якого лінійного оцінювача. Назвемо цю дисперсію$\sigma_{OK}^2$("ОК" - це "звичайний крігінг"). Це залежить виключно від матриці . Це говорить нам, що якби ми неодноразово вибір з і використовували ці коефіцієнти, щоб передбачити значення від решти значень кожного разу, то$\Sigma$$\left(Z_0, \ldots, Z_n\right)$$z_0$

1. В середньому наші прогнози були б правильними.

2. Як правило, наші прогнози $z_0$ відхилиться б о $\sigma_{OK}$ від фактичних значень $z_0$.

Набагато більше потрібно сказати, перш ніж це вдасться застосувати до практичних ситуацій, таких як оцінка поверхні за пунктуальними даними: нам потрібні додаткові припущення про те, як статистичні характеристики просторового процесу змінюються від одного місця до іншого та від однієї реалізації до іншої (навіть якщо на практиці зазвичай буде доступна лише одна реалізація). Але цієї експозиції має бути достатньо для того, щоб прослідкувати, як пошук "найкращого" неупередженого лінійного передбачувача ("BLUP") прямо веде до системи лінійних рівнянь.

---

До речі, кригінг, як це зазвичай практикується, не зовсім збігається з оцінкою найменших квадратів $\Sigma$оцінюється за попередньою процедурою (відомою як "варіографія") з використанням тих же даних. Це суперечить припущенням цього походження, яке передбачалося$\Sigma$був відомий (а fortiori незалежний від даних). Таким чином, на самому початку кригінг має в собі вбудовані деякі концептуальні та статистичні вади. Продумані практики завжди усвідомлювали це і знаходили різні творчі способи (намагатися) виправдати невідповідності. (Наявність великої кількості даних може реально допомогти.) Зараз існують процедури для одночасного оцінювання$\Sigma$і передбачення колекції значень у невідомих місцях. Для досягнення цього подвигу вони потребують дещо сильніших припущень (багатоваріантність нормальності).

Кригінг - це просто мінімальна оцінка площ для просторових даних. Як такий, він надає лінійний неупереджений оцінювач, що мінімізує суму помилок у квадраті. Оскільки воно є неупередженим, MSE = відхилення оцінювача і є мінімальним.