Чому тестування основних гіпотез фокусується на середньому, а не на медіані?

На базових курсах зі статистики нижчих класів студентів (як правило?) Навчають тестуванню гіпотез для середньої сукупності.
Чому саме фокус робиться на середньому, а не на медіані? Я здогадуюсь, що простіше випробувати середнє через теорему про центральну межу, але я хотів би прочитати кілька освічених пояснень.

Тому що Алан Тьюрінг народився після Рональда Фішера.

За старих часів, перед комп'ютерами, все це потрібно було робити вручну або, в кращому випадку, з того, що ми зараз би називали калькуляторами. Тести для порівняння засобів можна зробити таким чином - це трудомістко, але можливо. Тести на квантили (такі як медіана) було б майже неможливо зробити таким чином.

Наприклад, квантильна регресія покладається на мінімізацію відносно складної функції. Це неможливо зробити вручну. Це можливо з програмуванням. Дивіться, наприклад, Koenker або Wikipedia .

Квантильна регресія має менше припущень, ніж регресія OLS, і надає більше інформації.

Я хотів би додати третю причину до правильних причин, викладених Гарреллом і Фломом. Причина полягає в тому, що ми використовуємо евклідову відстань (або L2), а не відстань Манхеттена (або L1) як наш стандартний показник близькості чи помилки. Якщо у вас є декілька точок даних і потрібно одне число щоб оцінити його, очевидним поняттям є пошук числа, яке мінімізує "помилку", що число створює найменшу різницю між обраним числом і числа, що складають дані. У математичних позначеннях для заданої функції помилки E потрібно знайти . Якщо взяти для E (x, y) норму L2 або відстань, тобто$x_1, \ldots x_n$$\theta$$min_{\theta \in \Bbb{R}} (E(\theta,x_1, \ldots x_n) = min_{\theta \in \Bbb{R}}(\sum_{i=1}^{i=n} E(\theta,x_i))$$E(x,y) = (x-y)^2$ тоді мінімізатор для всіх - середнє значення. Якщо можна пройти відстань L1 або Манхеттен, мінімізатор для всіх є медіаною. Таким чином, середнє значення є природним математичним вибором - якщо використовується відстань L2!$\theta \in \Bbb{R}$$\theta \in \Bbb{R}$

Часто середнє значення вибирається за медіаною не тому, що воно є більш репрезентативним, надійним або значущим, а тому, що люди плутають оцінювач з оцінкою. По-іншому, деякі вибирають середнє значення сукупності як кількість, що цікавить, тому що при нормальному розподілі середнє значення вибірки є більш точним, ніж медіана вибірки. Натомість вони повинні більше думати, як ви робили, про справжню кількість інтересів.

Одна бічна панель: у нас є непараметричний інтервал довіри для медіани популяції, але не існує непараметричного методу (крім, можливо, чисельно інтенсивного емпіричного методу ймовірності), щоб отримати довірчий інтервал для середньої сукупності. Якщо ви хочете залишитися без розповсюдження, ви можете зосередитись на медіані.

Зауважимо, що теорема про центральний межа набагато менш корисна, ніж здається, про що йшлося в інших місцях на цьому сайті. Це фактично передбачає, що дисперсія відома або що розподіл симетричний і має форму, таку дисперсію вибірки є конкурентним оцінником дисперсії.