Докази рівня бакалавра теореми Пітмана – Купмана – Дармуа

Теорема Пітмана – Коопмана – Дармуа говорить, що якщо ідентичний вибірки з параметризованого сімейства розподілів ймовірностей допускає достатню статистику, кількість скалярних компонентів не зростає з розміром вибірки, то це експоненціальна сім'я.

• Чи дають докази будь-які підручники чи елементарні збірники?
• Чому вона названа на честь цих трьох осіб?

Причина, яку лему називають Пітманом-Купманом-Дармоа, не дивно, що три автори встановили подібні версії леми, незалежно приблизно в один і той же час:

• Darmois, G. (1935) Sur les lois de Probabilité à оцінка вичерпна, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 200, 1265-1266.
• Koopman, BO (1936) Про розповсюдження, що підтверджують достатню статистику, трансакції Американського математичного товариства , Vol. 39, № 3. [посилання]
• Pitman, EJG (1936) Достатня статистика та внутрішня точність, Праці Кембриджського філософського товариства , 32, 567-579.

після одновимірного результату в

• Фішер, Р.А. (1934) Два нові властивості математичної вірогідності, Праці Королівського товариства , серія A, 144, 285-307.

Я не знаю про нетехнічне підтвердження цього результату. Одним із доказів, що не передбачає складних аргументів, є дон Фрейзера (с.13-16), заснований на аргументі того, що функція вірогідності є достатньою статистикою з функціональним значенням. Але я вважаю цей аргумент спірним, оскільки статистика - це реальні вектори, які є функціями вибірки , а не функціоналами (перетворення, що оцінюється функцією). Змінюючи характер статистики, Дон Фрейзер змінює визначення достатності і, отже, значення лемми Дармуа-Купмана-Пітмана.$x$