Я часто бачу, що термін білий шум з'являється, читаючи про різні статистичні моделі. Але я повинен визнати, що я не зовсім впевнений, що це означає. Зазвичай її скорочують як $WN(0,σ^2)$ . Чи означає це, що він зазвичай розповсюджується або він може слідкувати за будь-яким розподілом?

normal-distribution white-noise

— user13514
джерело

en.wikipedia.org/wiki/White_noise

— whuber

Це залежить від дисципліни. При обробці сигналів білий шум не повинен бути нормальним. Однак при аналізі часових рядів, «процес білого шуму» (часто називають просто білий шум) є нормально розподіленою.

— JDL

@JDL це тому, що при обробці сигналів вони вважають, що будь-який шум є гауссовим?

— Аксакал

@JDL, ти впевнений? Чи можете ви навести посилання щонайменше на два чи три основні підручники часових рядів (наприклад, "Аналіз часових рядів" Гамільтона та ще один чи два)?

— Річард Харді

TL; DR

Відповідь "НІ", це не повинно бути нормальним; ТАК, це можуть бути інші дистрибуції.

Кольори шуму

Поговоримо про кольори шуму.

Шум, який немовля видає під час повітряних подорожей, не є білим. Він має колір.
Шум, який видає двигун літака, теж не білий, але він не такий кольоровий, як шум малюка. Біліше.
Шум, який видає океан чи ліс, майже білий.

Якщо ви користуєтесь головними телефонами для відміни шуму, ви знаєте, що номер 1 неможливо скасувати. Він простуватиме через будь-який головний телефон легко. №2 буде скасовано дуже добре.

Щодо №3, чому б ви скасували це?

Походження терміна "колір"

Яка різниця між цими трьома шумами? Він походить від спектрального аналізу . Як ви знаєте з середніх шкільних років, ви можете відправити біле світло крізь призму, і воно розділить світло на всі різні кольори. Саме так ми називаємо білий: всі кольори приблизно в однаковій пропорції. Жоден колір не домінує.

зображення від https://www.haikudeck.com/waves-and-light-vocabulary-uncategorized-presentation-w5bmS88NC9

Колір - це світло певної частоти, або можна сказати, електромагнітні хвилі певної довжини хвилі, як показано нижче. Червоний колір має низьку частоту по відношенню до синього, еквівалентно червоний колір має більшу довжину хвилі майже 800 нм в порівнянні з синьою довжиною хвилі 450 нм.

зображення звідси: https://hubpages.com/education/Teachers-Guide-for-Radiation-beyond-Visible-Spectrum

Спектральний аналіз

Якщо ви приймаєте шум, акустичний, радіо чи інший, і надсилаєте його через інструмент спектрального аналізу, такий як FFT, ви отримуєте його спектральне розкладання. Ви побачите, скільки кожної частоти звучить у шумі, як показано на наступному малюнку з Вікіпедії. Зрозуміло, що це не білий шум: він має чіткі піки на 50 Гц, 40 Гц і т.д.

Якщо виділяється вузька смуга частот, то це називається кольоровим, як у не білому . Отже, білий шум подібно до білого світла, він має широкий діапазон частот приблизно в такій же пропорції, як показано на наступному малюнку з цього сайту . У верхній діаграмі показана запис амплітуди, а в нижній - спектральне розкладання. Жодна частота не витримується. Так шум білий.

Ідеальний синус

Тепер, чому послідовність незалежних однаково розподілених випадкових чисел (iid) генерує білий шум? Давайте подумаємо, що робить сигнал кольоровим. Це хвилі певної частоти, що стирчать від інших. Вони домінують у спектрі. Розглянемо досконалу хвилю знаків: . Подивимося, яка коваріація між будь-якими двома точками секунди один від одного: $\sin(2\pi t)$ $\phi=1/2$

E [\sin (2 π t) \times \sin (2 π (t + 1 / 2)] = - E [\sin^{2} (2 π t)] = - \frac{1}{2}

$E[\sin(2\pi t) \times \sin(2\pi (t+1/2)]=-E[\sin^2 (2\pi t)]=-\frac 1 2$

Отже, за наявності синусоїди ми отримаємо автокореляцію у часовому ряду: всі зауваження за півсекунди один від одного будуть ідеально негативно співвіднесені! Тепер, якщо говорити, що наші дані є ідентичними, це означає, що ніякої автокореляції немає. Це означає, що в сигналі немає хвиль. Спектр шуму рівний.

Недосконалий приклад

Ось приклад, який я створив на своєму комп’ютері. Спочатку я записав свою камертон , потім записав шум від вентиляторів комп'ютера. Потім я запустив наступний код MATLAB для аналізу спектрів:

[y,Fs] = audioread(filew);

data = y(1000:5000,1);
plot(data)
figure
periodogram(data,[],[],Fs);
[pxx,f] = periodogram(data,[],[],Fs);
 [pm,i]=max(pxx);
 f(i)

Ось сигнал і спектр камертона. Як очікувалося, він має пік близько 440 Гц. Камертон повинен видавати майже ідеальний синусоїдальний сигнал, як у моєму теоретичному прикладі раніше.

Далі я робив те саме, що шумів. Як очікується, частота не стирається. Очевидно, що це не білий шум, але він стає досить близьким до нього. Думаю, що повинна бути дуже висока частота, це трохи мене турбує. Мені потрібно скоро змінити вентилятор. Однак я не бачу його в спектрі. Можливо, тому, що мій мікрофон виходить за межі шаленого, або частота дискретизації недостатньо висока.

Розповсюдження не має значення

Важлива частина полягає в тому, що у випадковій послідовності числа не автокорельовані (або навіть сильніші, незалежні). Точний розподіл не важливий. Це може бути гауссова або гамма, але поки цифри не співвідносяться в послідовності, шум буде білим.

— Аксакал
джерело

Хоча ви насправді не відповіли на запитання, ваш опис настільки добре зроблений, що я не міг не відмовитись від публікації :-).

— whuber

Кольори шуму надзвичайно цікаві. Моя улюблена - рожева (1 / ф), яка наближає до «приємних» природних явищ, як музика

— HEITZ

Так, у Pink є приємна музика;)

— Mottie

"Якщо ви користуєтесь головними телефонами для відключення шуму, ви знаєте, що [немовля плаче] неможливо відмовитись. Він легко проступить через будь-який головний телефон." Я думаю, що це властивість людського сприйняття, а не властива звуку. Дитячий плач - це найбільш відволікаючий шум, можливий з очевидних причин. theguardian.com/science/2012/oct/17/crying-babies-hard-ignore

— DrMcCleod

Гм, ви впевнені, що шум від океанів та лісів білий? Я б припустив, що це рожевий або червоний.

— труба

Білий шум просто означає, що послідовність зразків некорельована з нульовою середньою та кінцевою дисперсією. Не існує обмежень щодо розподілу, з якого беруть зразки. Тепер, якщо зразки витягнуті з нормального розподілу, у вас є особливий тип білого шуму, який називається гауссовим білим шумом.

— Мосс вбивця
джерело

IID випадкові числа генеруватимуть білий шум, але для білого шуму не потрібен iid

— Aksakal

Я не думаю, що я мав на увазі зразки Айда. Але ти маєш рацію в тому сенсі, що моє твердження наклало сильніші за необхідні умови - я мав би сказати некорельовану та кінцеву дисперсію замість незалежної та фіксованої дисперсії.

— Мосс вбивця

@Richard Hardy: Так, я просто зробив.