Відмінності між статистичною моделлю та моделлю ймовірності?

Прикладна ймовірність є важливою галуззю ймовірності, включаючи обчислювальну ймовірність. Оскільки статистика використовує теорію ймовірностей для побудови моделей для обробки даних, як я розумію, мені цікаво, в чому суттєва різниця між статистичною моделлю та моделлю ймовірності? Модель імовірності не потребує реальних даних? Спасибі.

probability mathematical-statistics

— Гонгланг Ван
джерело

Імовірнісна модель складається з триплету $(\Omega,{\mathcal F},{\mathbb P})$ , де $\Omega$ є вибіркове простір, ${\mathcal F}$ є $\sigma$ - алгебра (події) і ${\mathbb P}$ є ймовірнісної мірою на ${\mathcal F}$ .

Інтуїтивне пояснення . Модель ймовірності може бути інтерпретована як відома випадковою величиною $X$ . Наприклад, нехай $X$ є нормально розподіленою випадковою величиною із середнім значенням $0$ та дисперсією $1$ . У цьому випадку міра ймовірності ${\mathbb P}$ пов'язана з функцією кумулятивного розподілу (CDF) $F$ наскрізь

F (x) = P (X \leq x) = P (ω \in Ω : X (ω) \leq x) = \int_{- \infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{t^{2}}{2}) d t .

$F(x)={\mathbb P}(X\leq x) = {\mathbb P}(\omega\in\Omega:X(\omega)\leq x) =\int_{-\infty}^x \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left({-\dfrac{t^2}{2}}\right)dt.$

Узагальнення . Визначення моделі ймовірності залежить від математичного визначення ймовірності, див., Наприклад, Вільна ймовірність та Квантова ймовірність .

Статистична модель являє собою набір імовірнісних моделей, це, безліч імовірнісних заходів / розподілів на вибірковому просторі ${\mathcal S}$ $\Omega$ .

Цей набір розподілів ймовірностей зазвичай вибирається для моделювання певного явища, з якого ми маємо дані.

Інтуїтивне пояснення . У статистичній моделі параметри та розподіл, які описують певне явище, невідомі. Прикладом цього є знайомство нормальних розподілів із середнім та дисперсією , це обидва параметри невідомі, і ти зазвичай хочеш використовувати набір даних для оцінки параметрів (тобто вибір елемента ). Цей набір розподілів можна вибирати на будь-яких і , але, якщо я не помиляюся, у реальному прикладі є лише ті, що визначені для однієї пари $\mu\in{\mathbb R}$ $\sigma^2\in{\mathbb R_+}$ ${\mathcal S}$ $\Omega$ ${\mathcal F}$ $(\Omega,{\mathcal F})$ розумно розглянути.

Узагальнення . Цей документ дає дуже формальне визначення Статистичної моделі, але автор зазначає, що "Байєсова модель вимагає додаткового компонента у формі попереднього розподілу ... Хоча байєсівські формулювання не є основним напрямком цієї роботи". Тому визначення статистичної моделі залежать від типу моделі, яку ми використовуємо: параметричної чи непараметричної. Також у параметричних параметрах визначення залежить від того, як обробляються параметри (наприклад, Класичний проти Байесівського).

Різниця є: в ймовірнісної моделі ви точно знаєте , вірогідну міру, наприклад , де відомі параметри, в той час як в статистичної моделі розглядається безліч розподілів. , наприклад , де $\mbox{Normal}(\mu_0,\sigma_0^2)$ $\mu_0,\sigma_0^2$ $\mbox{Normal}(\mu,\sigma^2)$ $\mu,\sigma^2$ - невідомі параметри.

Жоден з них не потребує набору даних, але я б сказав, що для моделювання зазвичай вибирають Статистичну модель.

— Сіань
джерело

@HonglangWang В певній мірі це правильно. Основна відмінність полягає в тому, що модель ймовірності - це лише один (відомий) розподіл, тоді як статистична модель - це сукупність імовірнісних моделей; дані використовуються для вибору моделі з цього набору або меншої підмножини моделей, які краще (в певному сенсі) описують явище (з урахуванням даних).

(+1) Це хороша відповідь, хоча у мене є кілька коментарів. По-перше, я думаю, що це, можливо, продає ймовірність трохи коротше. Зовсім не рідко розглядати набір імовірнісних просторів у імовірнісній моделі, і дійсно можливі заходи можуть бути навіть випадковими (побудованими на відповідно великому просторі). По-друге, баєсівський (зокрема) міг би вважати цю відповідь дещо невтішною, оскільки баєсовська статистична модель часто може розглядатися як єдина імовірнісна модель на відповідному просторі продуктів

Ω \times Θ

$\Omega \times \Theta$

— кардинал

@gung Це питання, більш пов'язане з теорією мір. Що стосується вашого першого питання,

дійсно визначається через CDF. Тепер інтерпретація

є складною, оскільки формально

означає

, тоді

не є спостережуваними значеннями.

алгебра , яка є прообразом Бореля

алгебра під

P

${\mathbb P}$

Ω

$\Omega$

P (X \leq x)

${\mathbb P}(X\leq x)$

P (ω \in Ω : X (ω) \leq x)

${\mathbb P}(\omega\in\Omega: X(\omega)\leq x)$

Ω

$\Omega$

F

${\mathcal F}$

σ -

$\sigma-$

σ -

$\sigma-$

X

$X$ , знову це не спостерігається. Я не впевнений, як це пояснити на інтуїтивному рівні.

@ gung

залежить від програми ; це не визначається теорією. Наприклад,

може бути набором броунівських рухів, що описують ціну фінансової деривативи, а

може бути значенням, досягнутим за фіксований час

. В іншому застосуванні

може бути набором людей, а

може бути довжиною їх передпліч. Як правило,

- математична модель фізичних об'єктів дослідження, а

- числова властивість цих об'єктів.

- це сукупність можливих подій: ті ситуації, до яких ми хочемо віднести ймовірності.

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

X

$X$

t

$t$

Ω

$\Omega$

X

$X$

Ω

$\Omega$

X

$X$

F

$\mathcal{F}$

— whuber

@gung

- алгебра сигми : це сукупність підмножин ("події"). У фінансовому застосуванні це сукупність історій цін; у застосуванні для вимірювання передпліччя події будуть набором людей. Ми можемо поговорити про це більше, якщо хочете в чаті.

F

$\mathcal{F}$

— whuber