Легкий доказ

Нехай - незалежні стандартні звичайні випадкові величини. Існує багато (тривалих) доказів, що показують це $Z_1,\cdots,Z_n$

\sum_{i = 1}^{n} {(Z_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} Z_{j})}^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^n \left(Z_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j \right)^2 \sim \chi^2_{n-1}$

Багато доказів досить довгі, і деякі з них використовують індукцію (наприклад, статистичні умовиводи Casella). Мені цікаво, чи є легкий доказ цього результату.

mathematical-statistics sampling

— 3x89g2
джерело

Інтуїтивно зрозумілий геометричний (без координат) підхід дивіться у розділі 1.2 відмінного тексту Підхід без координат до лінійних моделей Майкла Дж. Вічури (технічні деталі заповнені в теоремі 8.2), де автор фактично порівняв традиційне матричний доказ (надається відповіддю Ваубера) та його проекційний підхід, що показує, що його геометричний підхід є більш природним і менш незрозумілим. Особисто я вважаю цей доказ проникливим і стислим.

— Жансіонг

Відповіді:

Для , визначте $k=1, 2, \ldots, n-1$

X_{k} = (Z_{1} + Z_{2} + \dots + Z_{k} - k Z_{k + 1}) / \sqrt{k + k^{2}} .

$X_k = (Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_k - kZ_{k+1})/\sqrt{k+k^2}.$

, будучи лінійними перетвореннями multinormally розподілених випадкових величин , також має multinormal розподілу. Зауважте, що $X_k$ $Z_i$

Матриця дисперсії-коваріації є матрицею ідентичності . $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $n-1\times n-1$
$X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n-1}^2 = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar Z)^2.$

, який легко перевірити, безпосередньо випливає при дотриманні всіх некорреліровани з Усі розрахунки зводиться до того, що , де є . $(1)$ $(2)$ $X_k$ $\bar Z.$ $1+1+\cdots+1 - k = 0$ $k$

Вони разом показують, що має розподіл суми некоррельованої одиничної дисперсії нормальних змінних. За визначенням це розподіл , QED . $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2$ $n-1$ $\chi^2(n-1)$

Список літератури

Для пояснення того, звідки походить побудова , дивіться початок моєї відповіді на темі "Як виконати ізометричне перетворення відношення логарифма щодо матриць Гельмерта" . $X_k$
Це спрощення загальної демонстрації, наведеної у відповіді ocram на тему Чому RSS розповсюджується чі квадратним часом np . Ця відповідь стверджує, що "існує матриця" для побудови ; тут я виставляю таку матрицю. $X_k$

— дзижчати
джерело

Ця конструкція має просту геометричну інтерпретацію. (1) Змінні

розподіляються на n-мірному сферично симетричному розподілі (таким чином ми можемо обертати його будь-яким способом). (2)

знайдеться як розв’язок лінійної задачі

, яка фактично є проекцією вектора

на

. (3) Якщо ми обертаємо простір координат таким чином, що одна з координат збігається з цим вектором проекції

, то решта - це (n-1) -мультиноміальний розподіл, що представляє залишковий простір.

Z_{i}

$Z_i$

\bar{Z}

$\overline{Z}$

Z_{i} = \bar{Z} + ϵ_{i}

$Z_i = \overline{Z} + \epsilon_i$

Z

$\mathbf{Z}$

1

$\mathbf{1}$

1

$\mathbf{1}$

— Емпірик Секст

Ви показуєте, що

є некорельованими один з одним. Але наскільки я розумію, щоб сказати, що сума квадратних стандартних нормальних змінних дорівнює

, нам потрібна незалежність, що набагато сильніша вимога, ніж некорельована? EDIT: о зачекайте, якщо ми знаємо, що дві змінні зазвичай розподіляються, то некорельована означає незалежність.

X_{i}

$X_i$

χ^{2}

$\chi^2$

— user56834

Крім того, я не розумію, як ви переходите від того, що

не співвідносяться з

(що я розумію), до (2). Не могли б ви детальніше?

X_{i}

$X_i$

\bar{Z}

$\bar Z$

— user56834

@Programmer Вибачте; Я не мав на увазі, що це логічна дедукція - (1) і (2) - це два окремих спостереження. (2) - це просто (прямолінійна) алгебраїчна ідентичність.

— whuber

Програміст, відзначте посилання на іншу відповідь, яку дав Вубер ( stats.stackexchange.com/questions/259208/… )

побудовані на основі матриці

з ортогональними рядками. Таким чином, ви можете оцінити більш абстрактним (менш помилковим) способом

як

X_{k}

$X_k$

H

$H$

\sum K_{i}^{2}

$\sum K_i^2$

, (зауважимо, ми повинні продовжити K за вектором 1111, щоб зробити його n на n)

K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (H Z)^{T} (H Z) = Z^{T} (H^{T} H) Z = Z^{T} I Z = Z \cdot Z

$K \cdot K = (H Z) \cdot (H Z) = (HZ)^T (HZ) = Z^T (H^TH) Z= Z^T I Z = Z \cdot Z$

— Секст Емпірік

Зауважте, ви кажете, що це стандартна нормальна , при і $Z_is$ $N(0,1)$ $\mu=0$ $\sigma=1$

Тоді $Z_i^2\sim \chi^2_{(1)}$

Тоді

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z} + \bar{Z})^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + n {\bar{Z}}^{2} \\ (1) & = \sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2} + {[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{i=1}^n Z_i^2&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z}+\bar{Z})^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+n\bar{Z}^2\\&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \tag{1} \end{align}$

Зауважимо, що ліва частина (1), і що другий член праворуч

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ_{(n)}^{2}

$\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_{(n)}$

{[\frac{\sqrt{n} (\bar{Z} - 0)}{1}]}^{2} \sim χ_{(1)}^{2} .

$\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \sim\chi^2_{(1)}.$

Крім того, такий, що і незалежні. Тому два останні доданки в (1) (функції і ) також є незалежними. Отже, їх мгс пов'язані з мгф лівої частини (1) через $\operatorname{Cov}(Z_i-\bar Z,\bar Z)=0$ $Z_i-\bar Z$ $\bar Z$ $Z_i-\bar Z$ $Z_i$ , де і . Таким чином, mgf є

M_{n} (t) = M_{n - 1} (t) M_{1} (t)

$M_n(t) = M_{n-1}(t)M_1(t)$

M_{n} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2}

$M_n(t)=(1-2t)^{-n/2}$

M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- 1 / 2}

$M_1(t)=(1-2t)^{-1/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

. Таким чином,

- це хі-квадрат з

градусом свободи.

M_{n - 1} (t) = M_{n} (t) / M_{1} (t) = (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$M_{n-1}(t)=M_n(t)/M_1(t)=(1-2t)^{-(n-1)/2}$

\sum_{i = 1}^{n} (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$

n - 1

$n-1$

— Глибока Північ
джерело

Останній "Тому" занадто недбалий

— Zhanxiong

\bar{X}

$\bar{X}$

\bar{X}

$\bar{X}$

\sum Z_{i}^{2}

$\sum Z_i^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

\sum (Z_{i} - \bar{Z})^{2}

$\sum (Z_i - \bar{Z})^2$

\bar{Z}

$\bar{Z}$

Я думаю, я використав теорему Кокрана

— Глибокий Північ

@DeepNorth Якщо ви заповнили якісь недоліки у вашому доказі

— Jarle Tufto