Що це означає з

Часто в ході мого (само) дослідження статистики я зустрічав термінологію " $\sigma$ -алгебра, породжена випадковою змінною". Я не розумію визначення у Вікіпедії , але найголовніше, що я не розумію цього. Чому / коли нам потрібні $\sigma-$ алгебри, породжені випадковими змінними? Яке їх значення? Я знаю наступне:

a $\sigma$ -алгебра на множині $\Omega$ - це непуста колекція підмножини $\Omega$ яка містить $\Omega$ , закрита під доповненням та під обчислювальним об'єднанням.
введемо $\sigma$ -алгебри для побудови просторів ймовірностей на нескінченних просторах вибірки. Зокрема, якщо $\Omega$ незліченно нескінченний, ми знаємо, що можуть існувати незмінні підмножини (набори, для яких ми не можемо визначити ймовірність). Таким чином, ми не можемо просто використовувати набір потужності $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ , як наш набір подій $\mathcal{F}$ . Нам потрібен менший набір, який ще досить великий, щоб ми могли визначити ймовірність цікавих подій, а також можна говорити про конвергенцію послідовності випадкових змінних.

Коротше кажучи, я думаю, що я досить інтуїтивно розумію алгебри. Я хотів би мати подібне розуміння щодо алгебр, породжених випадковими змінними: визначення, навіщо вони нам потрібні, інтуїція, приклад ... $\sigma-$ $\sigma-$

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
джерело

Однією з ефективних (і інтуїтивно значущих) характеристик є те, що це найгрубіша сигма-алгебра на

яка робить випадкову змінну вимірюваною.

Ω

$\Omega$

— whuber

@whuber найгрубіший означає найменший? Іншими словами, у мене є простір імовірностей

, у мене RV

(що вимірюється за визначенням випадкової величини), а

- найменший підмножина

така що

все ще вимірний Гаразд, але це ставить питання про те, що це означає, що інтуїтивно означає, що

є вимірюваним :-), чи має сенс сказати, що ми можемо визначити ймовірність усіх подій такого типу

та об'єднань / перетинів?

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$

σ

$\sigma$

F

$\mathcal{F}$

X

$X$

X

$X$

a < X < b

$a\lt X \lt b$

— DeltaIV

Дивлячись на один

одночасно, це мало інтуїції щодо вимірюваності. Ця концепція набуває свого характеру, коли ви вивчаєте колекції випадкових змінних - стохастичні процеси. У свою чергу, найпростіші стохастичні процеси (наприклад, кінцеві дискретні біноміальні випадкові прогулянки) забезпечують інтерпретаційну настройку, в якій сигма-алгебру, згенеровану всіма змінними

можна вважати "доступною інформацією до (включаючи) часу

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@whuber Вибачте, я не розумію :) Буду вдячний, якщо ви можете вказати мені на іншу вашу відповідь, де ви детальніше підете, або якщо ви хочете розширити це як відповідь. Інакше не хвилюйтеся - можливо, я не знаю достатньо про стохастичні процеси, щоб зрозуміти вашу думку. Хоча .. Мені потрібно відточувати свої навички динамічної байесівської мережі, тому якщо ця інтуїція допоможе при роботі над тимчасовими рядами, мене дуже зацікавить.

— DeltaIV

Дивіться stats.stackexchange.com/a/123754/919 . Також корисними можуть бути stats.stackexchange.com/a/164995/919 та stats.stackexchange.com/a/74339/919 .

— whuber

Розглянемо випадкову величину $X$ . Ми знаємо, що $X$ - це не що інше, як вимірювана функція від $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ до $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ , де $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ - множини Бореля реальної прямої. За визначенням вимірюваності ми знаємо, що маємо

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

Але на практиці зображення зображень Бореля можуть бути не всіма $\mathcal{A}$ а натомість вони можуть становити значно грубішу їх частину. Щоб побачити це, давайте визначимось

Σ = {S \in A : S = X^{- 1} (B), B \in B (R)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

Використовуючи властивості зображень, не надто складно показати, що $\mathcal{\Sigma}$ - сигма-алгебра. Також відразу випливає, що $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , отже, $\mathcal{\Sigma}$ - підсигма-алгебра. Далі, за визначеннями легко побачити, що відображення $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ є вимірюваним. $\mathcal{\Sigma}$ насправді найменша сигма-алгебра, яка робить $X$ випадковою змінною, як і всі інші сигма-алгебри такого роду, принаймні, включатимуть $\mathcal{\Sigma}$ . З тієї причини, що ми маємо справу з зображеннями випадкової величини $X$ , ми називаємо $\mathcal{\Sigma}$ сигма-алгебраіндукований випадкової величини $X$ .

Наведемо крайній приклад: розглянемо постійну випадкову змінну $X$ , тобто $X(\omega) \equiv \alpha$ . Тоді $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ дорівнює або $\Omega$ або $\varnothing$ в залежності від того $\alpha \in B$ . Сигма-алгебратаким чиномгенерується тривіально іяк такий, він, безумовновключені в $\mathcal{A}$ .

Сподіваюся, це допомагає.

— ДжонК
джерело

- це сукупність подій, правда? Та, яку я позначив

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— DeltaIV

Так, я був народжений з умовою знаходження

більш привабливим , ніж

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— ДжонК

чудово! Дуже ясно. Вам слід написати книгу :)

— DeltaIV