Яка різниця між лінійно залежними та лінійно корельованими?

12

Поясніть, будь ласка, у чому різниця між тим, якщо дві змінні є лінійно залежними або лінійно корельованими .

Я подивився статтю у Вікіпедії, але не отримав належного прикладу. Будь ласка, поясніть це на прикладі.

correlation non-independent

14

Дві змінні лінійно залежні, якщо одну можна записати як лінійну функцію іншої. Якщо дві змінні лінійно залежні, співвідношення між ними дорівнює 1 або -1. Лінійно корельований просто означає, що дві змінні мають ненульову кореляцію, але не обов'язково мають точне лінійне співвідношення. Кореляцію іноді називають лінійною кореляцією, оскільки коефіцієнт кореляції моменту Пірсона є показником сили лінійності у взаємозв'язку між змінними.

— Майкл Р. Черник
джерело

3

+1. Хоча я вважаю за краще кофе Пірсон. "є мірою сили лінійного відношення" замістьis a measure of the degree of linearity in [= of?] the relationship

— ttnphns

@ttnphns Добре, що звучить більш доречно.

— Майкл Р. Черник

Можливо, а не , буде кращим показником, оскільки нам не потрібно турбуватися з близьким до означає сильну лінійну взаємозв'язок (хоча і з негативним нахилом). Крім того, врахуйте, скільки розбіжностей пояснюється проти не пояснених, і що не провокує статистику перетворювати колесні колеса і робити ручні сторони у святкуванні, тоді як набагато кращі докази позитивного результату (читання, оприлюднення).

ρ^{2}

$\rho^2$

ρ

$\rho$

ρ

$\rho$

- 1

$-1$

ρ = 0.51

$\rho = 0.51$

ρ^{2} > 1 / \sqrt{2} \approx 70 %

$\rho^2 > 1/\sqrt{2} \approx 70\%$

— Діліп Сарват

8

У лінійна залежність означає, що один вектор є лінійною функцією іншого: З цього визначення зрозуміло, що обидві змінні переміщуватимуться в режимі блокування, маючи на увазі кореляцію або залежно від значення . Для більш повного розуміння відмінностей та зв’язків між поняттями, я вважаю, що вигідно врахувати геометрію. $\mathbf{R}^2$

v_{1} = a v_{2} .

$\textbf{v}_{1}=a\textbf{v}_2.$

1

$1$

- 1

$-1$

a

$a$

На графіку нижче показаний приклад формули лінійної залежності. Видно, що вектори лінійно залежні, тому що один просто кратний іншому. введіть тут опис зображення

Це на відміну від лінійної незалежності, яка в описується: для векторівПриклад лінійної незалежності можна побачити на графіці нижче. $\mathbf{R}^2$

v_{1} \neq a v_{2}

$\textbf{v}_{1}\neq a\textbf{v}_2$

v_{1}, v_{2} \neq 0 .

$\textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \neq \textbf{0}.$ введіть тут опис зображення

Найбільш крайній варіант лінійної незалежності - ортогональність, визначена для векторів як: Коли рентгенографічний в , ортогональность відповідає векторах і перпендикулярно один до одного: $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$

v_{1}^{T} v_{2} = 0.

$\textbf{v}_{1}^T \textbf{v}_{2} = 0.$

R^{2}

$\mathbf{R}^2$

v_{1}

$\textbf{v}_{1}$

v_{2}

$\textbf{v}_2$

введіть тут опис зображення

Тепер розглянемо коефіцієнт кореляції Пірсона:

ρ_{v_{1} v_{2}} = \frac{(v_{1} - {\bar{v}}_{1} 1)^{T} (v_{2} - {\bar{v}}_{2} 1)}{σ_{v_{1}} σ_{v_{2}}} .

$\rho_{\textbf{v}_{1}\textbf{v}_{2}} = \frac{(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})^T(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})}{\sigma_{\textbf{v}_{1}}\sigma_{\textbf{v}_{2}}}.$

Зауважте, що якщо вектори і є ортогональними, тоді чисельник коефіцієнта Пірсона дорівнює нулю, маючи на увазі, що змінні і некорельовані. Це ілюструє цікавий зв'язок між лінійною незалежністю та кореляцією: лінійна залежність між централізованими версіями змінних та відповідає кореляції або , не -ортогональна лінійна незалежність між централізованими версіями та $(\textbf{v}_{1}-\bar{v}_{1}\textbf{1})$ $(\textbf{v}_{2}-\bar{v}_{2}\textbf{1})$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $1$ $-1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ відповідає кореляції між і в абсолютному значенні, а ортогональність між централізованими версіями і відповідає кореляції . $0$ $1$ $\textbf{v}_{1}$ $\textbf{v}_{2}$ $0$

Таким чином, якщо два вектори будуть лінійно залежними, то центрировані версії векторів також будуть лінійно залежними, тобто вектори ідеально співвідносяться. Коли два лінійно незалежних вектора (ортогональний чи ні) зосереджені, кут між векторами може змінюватися або не змінюватися. Таким чином, для лінійно незалежних векторів кореляція може бути позитивною, негативною або нульовою.

— tjnel
джерело

0

Нехай функції f (x) і g (x) - функції.

Щоб f (x) і g (x) були лінійно незалежними, ми повинні мати

a * f (x) + b * g (x) = 0 тоді і тільки тоді, коли a = b = 0.

Іншими словами, немає c такого, що a або b не дорівнює нулю, але

a * f (c) + b * g (c) = 0

Якщо є така змінна, то скажемо, що f (x) і g (x) лінійно залежні.

напр

f (x) = sin (x) і g (x) = cos (x) лінійно незалежні

f (x) = sin (x) і g (x) = sin (2x) не є лінійно залежними (чому?)

— user34832
джерело

2

За визначенням, яке ви використовуєте там, може бути таке, що ; вони залежать лише лінійно, якщо це відбувається для всіх у розглянутому домені; наприклад, розглянемо ваш другий приклад, . (Також я думаю, що з вашим першим прикладом є проблема)

c

$c$

a f (c) + b g (c) = 0

$a f(c) + b g(c) = 0$

x

$x$

c = π / 3

$c=\pi/3$

— Glen_b -Встановіть Моніку