Що вище, або

Тож у мене був імовірний тест, і я не міг реально відповісти на це питання. Він просто запитав щось подібне:

"Враховуючи, що - випадкова величина, 0 , використовуйте правильну нерівність, щоб довести те, що вище або рівне, E (X ^ 2) ^ 3 або E (X ^ 3) ^ 2 .$X$$X$ $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

Єдине, про що я міг подумати, - це нерівність Дженсена, але я не знаю, як це застосувати тут.

Це справді можна довести нерівністю Дженсена.

Підказка : Зауважте, що для функція опукла в (саме тут ви використовуєте припущення ). Тоді нерівність Дженсена дає а для - це інший спосіб.$\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

Тепер перетворіть змінні на щось порівнянне та знайдіть відповідну .$\alpha$

Нерівність Ляпунова (Див.: Казелла та Бергер, Статистичний висновок 4.7.6):

Для : $1 < r < s < \infty$

Доказ :

За нерівністю Джензенса для опуклої :$\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Розглянемо , тоді де$\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

Замініть :$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Загалом для це означає:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Припустимо, X має рівномірний розподіл на [0,1], тоді E (X ) = і так E (X ) = і E ( X ) = тому E (X ) = . Тож у цьому випадку E (X ) > E (X ) . Чи можете ви узагальнити це чи знайти контрприклад?$^2$$\frac{1}{3}$$^2$$^3$$\frac{1}{27}$$^3$$\frac{1}{4}$$^3$$^2$$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$