Чи розподіл Гаусса є конкретним випадком бета-розподілу?

Якщо ви дивитесь на бета-розподіл з $\alpha=\beta=4$ він виглядає дуже схожим на розподіл Гаусса . Але це? Як ви можете довести, чи є бета (4,4) розподілом гауссова чи ні?

normal-distribution beta-distribution

— користувач1068636
джерело

Їх опори настільки різні.

— Глибока Північ

@DeepNorth - значить, ви припускаєте, що розподіли Гаусса не є конкретним видом бета-розподілу?

— user1068636

Більше, ніж пропонувати; якщо підтримка інша, вони не можуть бути однаковими дистрибутивами.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Вони мають як симетричну, так і більш-менш дзвоникову форму, але симетрична бета (чи 4,4, чи будь-яке інше конкретне значення) насправді не є гауссовою. Ви можете це сказати навіть не дивлячись на щільність - бета-розподіли увімкнено (0,1), тоді як усі розподіли Гаусса увімкнено $(-\infty,\infty)$

Давайте трохи докладніше розглянемо порівняння. Ми стандартизуємо бета-версію (4,4) так, щоб вона мала середнє значення 0 і стандартне відхилення 1 ( стандартизована бета-версія ) і подивимось, як щільність порівнюється зі стандартною гауссовою:

Стандартизована бета-версія (4,4) може лежати між -3 і 3 (стандартний Гаусс може приймати будь-яке значення); вона також менш пікова, ніж гауссова, і має більш круглі "плечі" близько 1 або близько стандартних відхилень з будь-якої сторони від середнього. Його куртоз становить 27/11 ( 2,45, проти 3 для гаусса). $\approx$

Симетричні бета-розподіли з більшими значеннями параметрів наближені до Гаусса.

У межах межі, коли параметр наближається до нескінченності, стандартизована симетрична бета-версія наближається до стандартного нормального розподілу (приклади доказів тут ).

$y=x$ $y=x$

$y=x$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$

— Glen_b -Встановити Моніку
джерело

1

$1$

t

$t$

1

$1$

X_{α, α} \sim Beta (α, α)

$X_{\alpha,\alpha} \sim \text{Beta}(\alpha,\alpha)$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (4 (2 α + 1))}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(4(2\alpha+1))}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$

+ 1

$+1$

\frac{X_{α} - \frac{1}{2}}{\sqrt{1 / (8 α)}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{X_\alpha -\frac12}{\sqrt{1/(8\alpha)}}\xrightarrow{d}\ N(0,1)$

α

$\alpha$