Чи має різниця між двома симетричними rv також симетричне розподіл?

Якщо у мене є два різних симетричних (щодо середнього) розподілу $X$ і $Y$ , є різниця $X-Y$ також симетричне (щодо медіани) розподіл?

distributions median

— Алесіо93
джерело

Розподіл

X - Y

$X-Y$ не є "різницею між двома розподілами", це розподіл різниці між симетрично розподіленими випадковими змінними; Різниця в розподілах була б

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$ ; що не є розподілом; так само різниця pdfs не була б у форматі PDF ... будь ласка, змініть свій опис заголовка

— Glen_b -Встановіть Моніку

@Glen_b: Я змінив назву ОП, щоб сказати так, але в майбутньому, будь ласка, продовжуйте редагувати її самостійно. Розмовно, я думаю, всі зрозуміли, що означає ОП.

— smci

@smci Насправді я вирішив попросити ОП це зробити, а не робити це сам чомусь (якщо ви перевірите мій профіль, ви побачите, що в мене відредаговано понад 3100 повідомлень - я розумію загальні правила редагування). Дякую, що допомогли. Я також думаю, що трохи більше обережності у висловленні того, що мається на увазі, вирішить значну частину початківців питань на сайті; і я думаю, що чіткість особливо важлива в заголовку.

— Glen_b -Встановіть Моніку

Відповіді:

Дозволяє $X \sim f(x)$ і $Y \sim g(y)$ бути PDF-файлами, симетричними щодо медіанів $a$ і $b$ відповідно. Так довго, як $X$ і $Y$ є незалежними, розподіл ймовірності різниці $Z = X - Y$ це згортання $X$ і $-Y$ , тобто

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

де $h(y) = g(-y)$ це просто PDF-файл $-Y$ з медіаною $-b.$

Інтуїтивно ми очікуємо, що результат буде симетричним $a - b$ тож давайте спробуємо це.

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

У другому рядку я використав заміну $v = b - y$ в інтегралі. У третьому рядку я використав обидві симетрії $f(x)$ о $a$ і з $g(-y)$ о $-b.$ Це доводить це $p(z)$ симетричний о $a - b$ якщо $f(x)$ симетричний о $a$ і $g(y)$ симетричний о $b.$

Якщо $X$ і $Y$ не були незалежними, і $f$ і $g$ були просто маргінальними розподілами, тоді ми повинні знати спільний розподіл, $X,Y \sim h(x,y).$ Тоді в інтегралі нам довелося б замінити $f(z + y) g(-y)$ з $h(z + y, -y).$ Однак, лише тому, що граничні розподіли симетричні, це не означає, що спільний розподіл симетричний щодо кожного з його аргументів. Тож ви не могли застосувати подібні міркування.

— Бриджберс
джерело

Це залежатиме від відносин між $x$ і $y$ , ось зустрічний приклад, де $x$ і $y$ симетричні, але $x-y$ не:

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Так ось медіана о $x-y$ не те саме, що різниця в медіанах і $x-y$ не є симетричним.

Редагувати

Це може бути зрозуміліше в нотації @ whuber:

Розглянемо дискретний рівномірний розподіл де $x$ і $y$ пов'язані таким чином, що ви можете вибрати лише одну з наступних пар:

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Якщо ви наполягаєте на думці у повному спільному розподілі, то розгляньте випадок, де $x$ може приймати будь-яке значення $(-4, -2, 0, 2, 4)$ і $y$ може приймати значення $(-3, -1, 0, 1, 3)$ і комбінація може приймати будь-яку з 25 пар. Але ймовірність наведених вище пар становить 16% кожна, а всі інші можливі пари мають ймовірність 1% кожна. Граничний розподіл $x$ буде дискретною рівномірною, кожне значення якої має 20% вірогідність і тому симетричне щодо медіани 0, те ж саме $y$ . Візьміть великий зразок із спільного розподілу і подивіться просто $x$ або просто $y$ і ви побачите рівномірний граничний розподіл (симетричний), але прийміть різницю $x-y$ і результат не буде симетричним.

— Грег Сніг
джерело

Я взагалі не розумію цього прикладу. Якщо

X

$X$ може дорівнювати 4 і

Y

$Y$ може бути дорівнює, наприклад, 1, то

X - Y

$X-Y$ має бути 3, але ви не перераховуєте цю можливість. Можливо, я неправильно розумію ваш приклад; що це за три вектори?

— амеба

x

$x$ і

y

$y$ не є незалежними в його прикладі. Подумай

x

$x$ ,

y

$y$ , і

x - y

$x-y$ як функції якоїсь випадкової величини

i

$i$ який вказує на кожен вектор. Тоді якщо

i = 0

$i=0$ ,

x = - 4

$x=-4$ ,

y = - 1

$y=-1$ , і

x - y = - 3

$x-y=-3$

— Мурманлі

Якщо ви роздумуєте

x

$x$ і

y

$y$ не бути незалежним, то ти справді переглядаєш

(x, y)

$(x,y)$ як біваріантна випадкова величина. Тому ви демонструєте, що симетричні крайові поля не означають, що спільне розподіл є симетричним. Це прекрасне спостереження, але позначення у цій відповіді заплутані. Можливо, буде чіткіше описати дані у двозначній позначенні як

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$ .

— whuber

@amoeba, Це залежить від відносин між

X

$X$ і

Y

$Y$ , якщо вони незалежні або слабо залежні, то так, може бути випадок, як ви кажете, але мій приклад - сильна залежність між двома змінними. Якщо X було висотою в дюймах, а y - висотою в сантиметрах, то

X = 10

$X=10$ - можливе значення, і

Y = 1

$Y=1$ є можливим значенням, але не одночасно для одного і того ж об'єкта.

— Грег Сніг

У коментарях та редагуванні з’ясовано, що ви мали на увазі. Дякую.

— амеба

Вам потрібно буде взяти на себе незалежність між X і Y, щоб це відбулося в цілому. Результат випливає безпосередньо з моменту розповсюдження $X-Y$ - це згортка симетричних функцій, яка також є симетричною.

— Мурманли
джерело