Чи можливо, що дві випадкові змінні з однієї сімейства розподілу мають однакові очікування та дисперсію, але різні вищі моменти?

12

Я думав про значення сім’ї в масштабі локації. Я розумію, що для кожного члена місцезнаходження шкали сім'ї з параметрами розташування і шкалою, то розподіл не залежить від будь - яких параметрів , і це те ж саме для кожного , що належить до цього сімейства. $X$ $a$ $b$ $Z =(X-a)/b$ $X$

Отже, моє запитання, чи можете ви надати приклад, коли два випадкових з однієї сімейства розподілів стандартизовані, але це не призводить до випадкової змінної з тим же розподілом?

Скажімо, $X$ і $Y$ походять з однієї родини розповсюдження (де я маю на увазі, наприклад, як Normal, так і Gamma тощо). Визначте:

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

ми знаємо, що і $Z_1$ і $Z_2$ однакові очікування та дисперсія, $\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$ .

Але чи можуть вони мати різні вищі моменти?

Моя спроба відповісти на це питання полягає в тому, що якщо розподіл і залежить від більш ніж 2 параметрів, ніж це могло бути. І я думаю про узагальнений який має 3 параметри. $X$ $Y$ $t-student$

Але якщо кількість параметрів а і походять з однієї сім'ї розподілу з однаковими очікуванням і дисперсією, то чи означає це, що і мають однаковий розподіл (більш високі моменти)? $\le2$ $X$ $Y$ $Z_1$ $Z_2$

— gioxc88
джерело

4

Так вони можуть. Але вам знадобиться принаймні 3 параметри в узагальненому розподілі.

— Карл

5

@Carl Одного параметра вистачить.

— whuber

5

@Carl Незрозуміло, що ви маєте на увазі під "тим же розподілом". Буквально це означало б унікальний розподіл, з одним законом і, отже, унікальним очікуванням, унікальною дисперсією та унікальними моментами (настільки, наскільки вони визначені). Якщо ви маєте на увазі "таку ж родину розподілу ", то ваше зауваження є безглуздим, оскільки сім'я - це все, про що ви її визначаєте.

— whuber

3

@HardCore Оскільки, здається, ви вважаєте, що на ваше запитання відповіли, дивіться, що я повинен робити, коли хтось відповість на моє запитання?

— Glen_b -Встановіть Моніку

2

@Carl Я теж схвалив вашу відповідь. Здається, використання ОП підтримує поняття як таке, що має однаковий стандартний розподіл для всіх варіантів у сім'ї. Давайте подивимось, яку відповідь приймає ОП (якщо ОП коли-небудь читає коментар Glen_b і діє на нього).

Z = (X - a) / b

$Z=(X-a)/b$

X

$X$

— Діліп Сарват

7

Мабуть, існує певна плутанина щодо того, що таке сімейство дистрибутивів, і як рахувати вільні параметри проти вільних плюс фіксованих (призначених) параметрів. Ці питання є стороною, яка не пов'язана з наміром ОП, і цією відповіддю. Я не використовую тут слово сім'ї, оскільки це заплутано. Наприклад, сім'я за одним джерелом є результатом зміни параметра параметра форми. @whuber стверджує, що "параметризація" сім'ї - це суцільне відображення з підмножини ℝ , що має її звичайну топологію, в простір розподілів, зображенням яких є ця сім'я. $^n$ Я буду використовувати форму слова, яка охоплює як цільове використання цього словаідентифікація та підрахунок сімейства та параметрів . Наприклад, формуламає вигляд квадратичної формули, тобтоа якщоформула все ще має квадратичну форму. Однак, колиформула є лінійною і форма вже не є повною, щоб містити термін квадратичної форми. Тим, хто бажає використовувати слово сім’я у відповідному статистичному контексті, рекомендується внести цю окрему запитання . $x^2-2x+4$ $a_2x^2+a_1x+a_0$ $a_1=0$ $a_2=0$

Давайте відповімо на питання "Чи можуть вони мати різні вищі моменти?". Таких прикладів багато. Ми зауважимо, мимоволі, що питання, як видається, стосується симетричних PDF-файлів, які мають місце розташування та масштабу у простому випадку з двома параметрами. Логіка: Припустимо, є дві функції щільності з різною формою, що мають два однакових (розташування, масштаб) параметрів. Тоді є або параметр форми, який коригує форму, або функції густини не мають загального параметра форми і, таким чином, функції щільності не мають загальної форми.

Ось приклад того, як параметр форми фігурує в ньому. Узагальнена функція щільності помилок і тут , відповідь , який , як видається, вільно обираний ексцес.

За Skbkekas - власна робота, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753

PDF (AKA "ймовірність" функції щільності, зауважте, що слово "ймовірність" є зайвим)

\frac{β}{2 α Γ (\frac{1}{β})} e^{- (\frac{| x - μ |}{α})^{β}}

$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$

Середнє значення та розташування - , шкала , а - форма. Зауважте, що симетричні PDF-файли представляють легше, оскільки ці PDF-файли часто мають розташування та масштаб як два найпростіших випадки параметрів, тоді як асиметричні PDF-файли, як і гамма-PDF , мають форму та масштаб як найпростіші параметри справи. Продовжуючи функцію щільності помилок, дисперсія є , перекос дорівнює , а куртоз - $\mu$ $\alpha$ $\beta$ $\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$ $0$ $\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$ . Таким чином, якщо ми встановимо дисперсію дорівнює 1, то призначимо значення від при зміні , так що куртоз можна вибрати в діапазоні від до . $\alpha$ $\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$ $\beta>0$ $-0.601114$ $\infty$

Тобто, якщо ми хочемо змінювати моменти вищого порядку, і якщо ми хочемо підтримувати середнє значення нуля та дисперсію 1, нам потрібно змінити форму. Мається на увазі три параметри, які загалом є 1) середньою або іншою мірою відповідною мірою розташування, 2) шкалою для регулювання дисперсії або іншою мірою мінливості та 3) формою. ВІН ВІДПОВІСТЬ принаймні ТРИ ПАРАМЕТРИ.

Зауважте, що якщо ми зробимо підстановки , у PDF вище, отримаємо $\beta=2$ $\alpha=\sqrt{2}\sigma$

\frac{e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ},

$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$

що є нормальною щільністю розподілу. Таким чином, узагальнена функція щільності помилок - це узагальнення функції густини нормального розподілу. Існує багато способів узагальнення функції нормальної густини розподілу. Ще один приклад, але з функцією нормального розподілу по щільності тільки в якості граничного значення, а не зі значеннями заміщення середнього класу , як узагальнена функція щільності помилки, це Стьюдента функція щільності «сек. Використовуючи Стьюдент функцію щільності, ми мали б набагато більш обмежений вибір ексцесу, і є параметром форми , тому що другий момент не існує для . Більше того, df $-t$ $-t$ $\textit{df}\geq2$ $\textit{df}<2$ насправді не обмежується позитивними цілими значеннями, це загалом реальна . Студентський стає нормальним лише в межах границі як , тому я не вибрав це як приклад. Це не є гарним прикладом і не є протилежним прикладом, і в цьому я не погоджуюся з @ Xi'an і @whuber. $\geq1$ $-t$ $\textit{df}\rightarrow\infty$

Дозвольте пояснити це далі. Можна вибрати дві з безлічі функцій довільної щільності двох параметрів, щоб мати, наприклад, середнє значення нуля та дисперсію. Однак не всі вони будуть однакової форми. Питання, однак, стосується функцій щільності форми SAME, а не різних форм. Висловлено твердження, що функції щільності мають однакову форму є довільним призначенням, оскільки це питання визначення, і в цьому моя думка відрізняється. Я не погоджуюся, що це довільно, оскільки можна або зробити заміну, щоб перетворити одну функцію щільності в іншу, або не може. У першому випадку функції щільності схожі, і якщо за допомогою підстановки ми можемо показати, що функції щільності не еквівалентні, то ці функції щільності мають різну форму.

Таким чином, використовуючи приклад PDF Student , вибір може вважати узагальненням звичайного PDF-файлу, і в цьому випадку звичайний PDF має допустиму форму для PDF- студента Student , чи ні, в такому випадку PDF- студента відрізняється від звичайного PDF і, таким чином, не має значення для поставленого питання . $-t$ $-t$ $-t$

Ми можемо аргументувати це багатьма способами. Моя думка така , що нормальний PDF є підгрупою обраної формою Стьюдента «s PDF, але це нормальний PDF НЕ суб-вибір гамма PDF , навіть при тому , що граничне значення гамма PDF можна показати , бути нормальною PDF, і моя причина цього полягає в тому, що в нормальному / Student » випадку, підтримка така ж, але в нормальних / гамма випадку підтримка нескінченна по порівнянні з полубесконечной, що необхідна несумісністю . $-t$ $-t$

— Карл
джерело

6

(-1) Як було сказано в інших коментарях, питання полягає в тому, "що означає сім'я розподілу?". Я можу легко визначити нове "сімейство" розподілів, яке просто перерозподілено t-розподілами, щоб мати середнє значення = 0, sd = 1, з одним параметром: df. Тоді 1-й та 2-й моменти рівні для всіх df, але для різних значень df вони мають різні вищі моменти.

— Кліф АВ

5

Hard Core, цей коментар важко зрозуміти, враховуючи, що у вашій назві є слово "родина"! Більше того, якщо ви заперечуєте, що сім'я має сенс, то питання не має сенсу. Будь ласка, уточнюйте, редагуючи своє запитання, щоб відобразити ваші наміри.

— whuber

5

-1 тому що ви почнете з того, що говорите "Відповідь" НІ ". а потім переходимо до прикладу, який ефективно відповідає Так (інший приклад наведено у відповіді kjetilbhalvorsen, яку ви прихильно згадуєте). Це для мене немає сенсу. Я думаю, що математика тут зрозуміла всім нам, тому моя суть є лише через відсутність послідовності у викладі.

— амеба

3

Карл, між питанням та коментарями Hard Core існує чітка невідповідність. Питання явне: "навести приклад, коли дві випадкові [змінні] з однієї сімейства розподілу стандартизовані, але це не призводить до ... Випадкової змінної [s] з однаковим розподілом". Очевидно, якесь значення "сім'ї" призначене. Звичайний сенс зрозумілий, незважаючи на те, що навколо існують різні технічні варіанти, і правильна відповідь (що легко демонструється) - «так, таких прикладів багато».

— whuber

4

Дякую. Зрозуміло, ви добре розумієте те, про що пишете, але, на жаль, ваша публікація поширює досить непорозуміння щодо того, якими можуть бути значення "розподіл", "форма", "форма" та "параметр". В якості одного з прикладів тонкощів розглянемо сімейство розподілів, створене будь-яким законом розподілу який має ненульовий третій центральний момент. Сімейство індексується двома дійсними числами і складається з усіх законів . Це сімейство масштабних локацій, але форми цих законів відрізняються залежно від ознаки .

F

$F$

(μ, σ \neq 0)

$(\mu,\sigma\ne 0)$

x \to F (σ x + μ)

$x\to F(\sigma x+\mu)$

σ

$\sigma$

— whuber

17

Якщо ви хочете приклад, який є "офіційно названою параметризованою сімейством розподілу", ви можете ознайомитись із узагальненим розподілом гами, https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distribution . Ця сім'я розподілу має три параметри, щоб ви могли зафіксувати значення і варіація, і все ще є свобода змінювати більш високі моменти. На сторінці вікі алгебра не виглядає привабливою, я б скоріше це зробив чисельно. Для статистичних додатків шукайте на цьому сайті gamlss, який є розширенням гри (узагальнена добавка моделі, самі по собі узагальнення glm's), які мають параметри для "розташування, масштабу та форми".

Інший приклад - -розподіли, розширені як сімейство масштабу локації. Тоді третім параметром будуть ступеня свободи, які будуть насторожувати форму для фіксованого місця та масштабу. $t$

— kjetil b halvorsen
джерело

1

Хоча узагальнений розподіл помилок, можливо, був кращим вибором.

— Карл

2

Дуже дякую за вашу відповідь !! Я вибираю Карла, тому що він був більш детальним, але це теж було чудово .. дякую дуже !!!

— gioxc88

14

Існує нескінченна кількість розподілів із середнім нулем і дисперсією один, тому візьміть розподілений з одного з цих розподілів, скажімо, та з іншого з цих розподілів, скажімо, студентський з 54 градусами свободи, зміненою на так що його дисперсія дорівнює одиниці, тоді насолоджуйтесь зазначеними вами властивостями. "Кількість" параметрів не має значення для властивості. $\epsilon_1$ $\mathcal{N}(0,1)$ $\epsilon_2$ $t$ $\sqrt\frac{1}{3}$

X = μ + σ ϵ_{1} and Y = μ + σ ϵ_{2}

$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$

Очевидно, якщо ви встановите інші правила визначення цього сімейства, як, наприклад, заявляючи, що існує фіксована щільність така, що щільність дорівнює Ви можете закінчити один можливий розподіл. $f$ $X$

\frac{1}{σ^{d}} f ({x - μ} / σ)

$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$

— Сіань
джерело

дякую за відповідь, але я думаю, що це не те, про що я запитав

— gioxc88

6

Я думаю, що це відбувається тому, що якщо сімейство розподілів визначається об'єднанням як розподілів , так і , то у вас є суперечність властивості. "Родина" розподілів - досить розпливчасте поняття.

X

$X$

Y

$Y$

— Сіань

і по суті є досить розпливчастим , але якщо ви читали моє запитання , який я написав , що в цьому контексті з сім'єю я маю в виду, наприклад , як Normal або як Gamma і так далі .. Ви зробили приклад з одним нормальним і один т студент

— gioxc88

4

Hard Core, ви начебто плутаєте ім’я родини з її поняттям . Ця відповідь є прекрасною і гарно ілюструє концепцію. Ваше запитання не вимагає, щоб рішення вирішувалося як сімейство масштабних локацій. Якщо вам потрібно, щоб вона була однією, ви завжди можете прийняти цю відповідь - або будь-яку іншу відповідь - і поширити її на сімейство масштабів локації, дозволяючи довільні переклади та перерахунки. Точка Сіань щодо кількості параметрів все ще дотримується.

— whuber

@whuber Я думаю, що це плутається як відповідь. Студентська-t сама по собі була б кращою відповіддю, а не використовувати крайню відповідь і не вказувати її. Дійсно, саме є третім параметром.

d f = 3, \infty

$df=3,\infty$

d f

$df$

— Карл

6

Я думаю, ви запитуєте, чи можуть дві випадкові величини, що походять з однієї сім'ї масштабу локації, мати однакове середнє значення та дисперсію, але принаймні один інший вищий момент. Відповідь - ні.

Доведення : Нехай і є двома такими випадковими змінними. Оскільки і знаходяться в одній сім'ї масштабу локації, існує випадкова змінна і дійсні числа такі що і . Оскільки і мають однакове середнє значення та дисперсію, ми маємо: $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $X$ $a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$ $X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$ $X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$ $X_1$ $X_2$

$E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$ .
$\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$ .

Якщо , то з ймовірністю , а значить, і вищі моменти і рівні. Тож можна вважати, що . Використовуючи це, (2) випливає, що. Оскільки і , то насправді . У свою чергу (1) вище випливає, що . Отже, маємо, що: для будь-якого , тобто для всіх моментів та $\operatorname{Var}[X] = 0$ $X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$ $1$ $X_1$ $X_2$ $\operatorname{Var}[X] \neq 0$ $|a_1|=|a_2|$ $a_1>0$ $a_2>0$ $a_1=a_2$ $b_1=b_2$

E [X_{1}^{k}] = E [(a_{1} X + b_{1})^{k}] = E [(a_{2} X + b_{2})^{k}] = E [X_{2}^{k}],

$E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k],$

k

$k$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$ всі рівні.

— ієз
джерело

1

(+1) Я не можу причепитися до цієї відповіді. Мабуть, хтось це робить, і вони теж винні у мене. Я не розумію цієї незрозумілої поведінки.

— Карл

5

@Carl Ця відповідь є невірною - тому її зволікають. Сіань вже представив контрприклад.

— whuber

1

@whuber Будь ласка, дивіться мої коментарі під відповіддю Сіань. Я не згоден з ним, але не спростував, тому що і ви, і ви маєте право на свою думку, навіть якщо я вважаю це неправильним.

— Карл

8

@Carl Після повторного прочитання цієї відповіді мені потрібно відхилити свою первісну оцінку: ця відповідь правильна (і +1 для цього), і вона правильна, оскільки чітко пояснює, як інтерпретується оригінальне запитання. (Зокрема, існує загальноприйнята, але вузька концепція "сім'ї в масштабному розташуванні", яка складається лише з єдиного стандартного розподілу разом із усіма його перекладами та позитивними перерахунками.) Я вважаю, що в оригінальному питанні було покликано задати щось трохи інше; в основі цієї думки лежить посилання на більш ніж два параметри в пості.

— whuber

2

Мені шкода, що я не дуже зрозуміла, і я дякую тобі за витрачений час на розгляд цього питання, але це не те, що я просив.

— gioxc88

1

Оскільки питання можна інтерпретувати багатостороннім способом, я розділю цю відповідь на дві частини.

A: сім'ї розподілу.
B: сімейства розподілу в масштабі локації.

Проблему з випадком A можна легко відповісти / продемонструвати багатьма сім'ями з параметром форми.

Проблема з випадком B складніше, оскільки півтора параметрів здається достатнім для визначення місця та масштабу (розташування в та масштабування в ), і проблема стає чи два параметри також можуть бути використані для кодування (декількох) фігур. Це не так банально. Ми можемо легко придумати конкретні двома сімействами шкали розташування параметрів і продемонструвати, що у вас немає різних форм, але це не підтверджує, що це фіксоване правило для будь-якого сімейства шкал розташування двох параметрів. $\mathbb{R}$ $\mathbb{R_{>0}}$

Відповідь: Чи можуть два різні розподіли з одного і того ж сімейства розподілів 2-х параметрів однакові середні та дисперсійні?

Відповідь - так, і це вже можна показати, використовуючи один із чітко згаданих прикладів: нормалізований розподіл гамми

Сімейство нормалізованих гамма-розподілів

Нехай з a розподіленою змінною Gamma. (Кумулятивний) розподіл наведено нижче: $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ $X$ $Z$

F_{Z} (z; k) = {\begin{cases} 0 & if & z < - \sqrt{k} \\ \frac{1}{Γ (k)} γ (k, z \sqrt{k} + k) & if & z \geq - \sqrt{k} \end{cases}

$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases}$

де - неповна гамма-функція. $\gamma$

Тож тут явно випадок, що різні та (розподіли з сімейства нормалізованих гамма-розподілів) можуть мати однакове середнє значення та дисперсію (а саме та ), але відрізнятися залежно від параметра (часто позначається параметр "форма"). Це тісно пов’язано з тим, що сімейство гамма-розподілів не є сім’єю за місцем розташування. $Z_1$ $Z_2$ $\mu=0$ $\sigma=1$ $k$

В: Чи можуть два різні розподіли з однієї сімейства розподілу 2-х параметрів розташування параметрів мати однакове середнє значення та дисперсію?

Я вважаю, що відповідь - ні, якщо ми розглянемо лише гладкі сімейства (гладкі: невелика зміна параметрів призведе до невеликої зміни розподілу / функції / кривої). Але ця відповідь не настільки тривіальна, і коли ми використовуємо більш загальні (негладкі) сім’ї, тоді ми можемо сказати « так» , хоча ці сім’ї існують лише в теорії і не мають практичної актуальності.

Створення сім'ї масштабу локації з одного розподілу шляхом перекладу та масштабування

З будь-якого окремого розподілу ми можемо генерувати сімейство масштабів локації за допомогою перекладу та масштабування. Якщо - функція густини ймовірності одного розподілу, то функцією густини ймовірностей для члена сім'ї буде $f(x)$

f (x; μ, σ) = \frac{1}{σ} f (\frac{x - μ}{σ})

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$

Для сім'ї масштабу локації, яка може бути створена таким чином, ми маємо:

для будь-яких двох членів та якщо їхні значення та відхилення рівні, тоді $f(x;\mu_1,\sigma_1)$ $f(x;\mu_2,\sigma_2)$ $f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

Чи може для всіх двох сімей з параметрами розташування їх розподіл членів генеруватися з розподілу одного члена шляхом перекладу та масштабування?

Таким чином, переклад та масштабування можуть перетворити один розподіл у сімейство масштабів місцеположення. Питання полягає в тому, чи відповідає зворотній зв'язок і чи кожне два параметри сімейства масштабів розташування параметрів (де параметри та не обов'язково повинні збігатися з розташуванням та масштаб ) можна описати перекладом та масштабуванням з одного члена з цієї сім'ї. $\theta_1$ $\theta_2$ $\mu$ $\sigma$

Зокрема, для двох сімейств розміщення параметрів, таких як сімейство звичайних розподілів, не надто складно показати, що вони можуть бути згенеровані відповідно до вищевказаного процесу (масштабування та переклад єдиного прикладного члена).

Можна задатися питанням, чи можливо для кожної двох сімейств параметрів місцеположення генеруватися з одного члена шляхом перекладу та масштабування. Або суперечливе твердження: "Чи може сім'я з двома параметрами розміщення розташування містити два розподіли різних членів з однаковим середнім значенням та дисперсією?", Для чого було б необхідно, щоб сім'я являла собою об'єднання декількох підсемейств, кожне з яких генерується перекладом та масштабування.

Випадок 1: Родина узагальнених t-розподілів учнів, параметризованих двома змінними

Надуманий приклад виникає, коли ми робимо деяке відображення з в ( кардинальність-mathbbr-і-mathbbr2 ), що дозволяє свободі використовувати два параметри і для опису об'єднання декількох підсімей, які є згенерований перекладом та масштабуванням. $R^2$ $R^3$ $\theta_1$ $\theta_2$

Скористаємось узагальненим т-розподілом Стьюдента (три параметри):

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

з трьома параметрами, зміненими наступним чином

\begin{array}{rcl} μ & = & \tan (θ_{1}) \\ σ & = & θ_{2} \\ ν & = & ⌊ 0.5 + θ_{1} / π ⌋ \end{array}

$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$

то ми маємо

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

що може вважатися двома параметрами сімейства масштабів розташування (хоч і не дуже корисно), які не можуть бути сформовані за допомогою перекладу та масштабування лише одного члена.

Випадок 2: Сімейства масштабних локацій, породжені негативним масштабуванням одного розподілу за допомогою ненульового перекосу

Менш надуманий приклад, ніж використання цієї загар-функції, надає Вюбер під коментарями відповіді Карла. У нас може бути сім'я де гортання знаку зберігає середнє значення та відхилення незмінними, але, можливо, змінюючи нерівні вищі моменти. Таким чином, це дає трохи легше сімейство з двома параметрами розміщення розташування, де члени з однаковим середнім рівнем та дисперсією можуть мати різні моменти вищого порядку. Цей приклад від Whuber можна розділити на дві підродини, кожна з яких може бути створена з одного члена шляхом перекладу та масштабування. $x \mapsto f(x/b + a)$ $b$

Гладкі сім’ї

Якщо ми спробуємо зробити єдине плавне сімейство розподілу двох параметрів (гладке: невелика зміна параметрів призведе до невеликої зміни розподілу / функції / кривої), якось створивши композицію з двох або більше сімей, що генеруються перекладом і масштабування, тоді ми стикаємося з проблемами, щоб два параметри охоплювали як варіацію "середнє" та "дисперсію", так і третій параметр "форму". Формальний доказ повинен мати ті ж самі лінії, що й відповідь на запитання: чи є гладка сюжективна функція ? $f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$ (де відповідь є ні у випадку гладких , тобто нескінченно диференційованих, функцій, хоча вони є безперервними функції, які виконали б роботу, наприклад криві Пеано).

Інтуїція: Уявіть, що існують деякі параметри , які описують розподіли в деяких сімействах розподілу в масштабі локації, і за допомогою яких ми можемо змінити середнє значення та дисперсію , а також деякі інші моменти, тоді ми повинні мати можливість виразити , в перерахунку на середню та дисперсію $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$ $\mu$ $\sigma$

\begin{array}{rcl} θ_{1} & = & f_{θ_{1}} (μ, σ) \\ θ_{2} & = & f_{θ_{2}} (μ, σ) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$

але вони повинні бути багатозначними функціями, і вони не можуть здійснювати безперервні переходи, різні значення від для конкретних та не є безперервними, і вони не зможуть моделюють параметр безперервної форми. $f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$ $\mu$ $\sigma$

Я насправді не дуже впевнений у цій заключній частині. Ми могли б використовувати криву заповнення простору (наприклад, криву Пеано, якби тільки ми знали, як виразити координати на кривій до координат гіперкуба), щоб мати єдиний параметр повністю моделювати кілька функцій, таких як середнє значення та дисперсія, без відмова від властивості, що невелика зміна параметра еквівалентна невеликій зміні функції при кожному $\theta_1$ $\theta_1$ $f(x;\theta_1)$ $x$

— Секст Емпірік
джерело

1

Я перестав читати після початкових визначень, оскільки вони такі неясні та суперечливі. Під "інтеграцією" ви, звичайно, маєте на увазі інтеграцію лише через . $x$ Під " ", однак, ви повинні мати на увазі CDF, а не PDF, оскільки поділ на змінює інтеграл. Не накладаючи жодних обмежень на те, як може змінюватися залежно від ви також приймаєте набагато ширше поняття "сім'ї", ніж зазвичай. Тільки це дозволяє обговорити "карту від до " Проблема цих "карт" полягає в тому, що вони не можуть бути безперервними і не матимуть статистичного значення.

f,

$f,$

b \neq 1

$b\ne 1$

f

$f$

θ

$\theta$

R^{2}

$R^2$

R^{3} .

$R^3.$

2

Я не заперечую проти простоти чи мови, а проти плутанини, яка сіється. Проблема з вашою карткою вказує на те, чому потрібно накладати на сім'ю додаткову математичну структуру - відповідну топологію. Дозволити зміни дистрибутивів настільки (жорстоко) переривчастою манерою з є не лише непрактичним і безглуздим, але, без жодних вагомих причин, це може визнати недійсними корисні методи та теореми. Наприклад, MLE майже завжди виконується при припущенні, що розподіл змінюється в залежності від кусочно диференційованим чином.

R^{2} \to R^{3}

$R^2\to R^3$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— whuber

1

Друга куля є невірною: вона не випливає з жодного з припущень і не є частиною визначення сімейства масштабних локацій.

— whuber

1

Це надзвичайно заплутано, бо зараз усі посилання на зайві. Я вважаю, що кількісні показники, які зараз є у вашій заяві, можуть неправильно передати ідею, яку ви маєте. Чому б просто не скинути і просто сказати, що сім'я складається з набору розподілів для одного заданого і всіх з ? Також не потрібно посилатися на засоби та відхилення - це просто відволікання від суттєвої ідеї, яка не вимагає, щоб взагалі мав якісь моменти.

θ_{i}

$\theta_i$

θ_{i}

$\theta_i$

x \to F (b x + a)

$x \to F(bx + a)$

F

$F$

(a, b) \in R^{2}

$(a,b)\in\mathbb{R}^2$

b > 0

$b\gt 0$

F

$F$

— whuber

1

@whuber, якщо ви генеруєте сімейство масштабних локацій з одного єдиного прикладу, то, справді, здавалося б, набагато простіше використовувати та . Тут я, однак, уявляю, що у нас вже є сімейство кривих, параметризованих деякими альтернативами та і мені цікаво, чи можливо таке сімейство містить більше кривих, ніж просто криві, створені шляхом масштабування одного члена з та (як при перетворенні з дотичною). Я побачу, чи зможу я знову якось змінити рецептуру (ви не згодні з ідеєю чи з рецептурою?).

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

θ_{1}

$\theta_1$

θ_{2}

$\theta_2$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— Секст Емпірік