Нуль-завищена регресія Пуассона

Нехай $\textbf{Y} = (Y_1, \dots, Y_n)'$ незалежні і

\begin{aligned} Y_{i} = 0 & with probability p_{i} + (1 - p_{i}) e^{- λ_{i}} \\ Y_{i} = k & with probability (1 - p_{i}) e^{- λ_{i}} λ_{i}^{k} / k! \end{aligned}

$\eqalign{ Y_i = 0 & \text{with probability} \ p_i+(1-p_i)e^{-\lambda_i}\\ Y_i = k & \text{with probability} \ (1-p_i)e^{-\lambda_i} \lambda_{i}^{k}/k! }$

Припустимо також, що параметри і задовольняють $\mathbf{\lambda} = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)'$ $\textbf{p} = (p_1, \dots, p_n)$

\begin{aligned} \log (λ) & = B β \\ logit (p) & = \log (p / (1 - p)) = G λ . \end{aligned}

$\eqalign{ \log(\mathbf{\lambda}) &= \textbf{B} \beta \\ \text{logit}(\textbf{p}) &= \log(\textbf{p}/(1-\textbf{p})) = \textbf{G} \mathbf{\lambda}. }$

Якщо однакові коваріати впливають на і так, що $\mathbf{\lambda}$ $\textbf{p}$ $\textbf{B} = \textbf{G}$ , то чому нульова завищена пуассонова регресія потребує вдвічі більше параметрів, ніж пуассонова регресія?

poisson-regression zero-inflation

— Дамієн
джерело

Вам ще доведеться оцінити

- матриці проектування (дані), тому однакові рівні не зменшують розмірність простору параметрів.

β

$\beta$

λ

$\lambda$

B

$\bf B$

G

$\bf G$

— Макрос

@Macro: Якщо

- це стовпець з них, то навіщо нам потрібен 1 параметр для оцінки, ніж пуассонова регресія?

G

$\textbf{G}$

— Демієн

добре, вам знадобиться оцінити

("перехоплення" в логістичній частині моделі) і

("перехоплення" в частині Пуассона моделі), тому замість 1. є 2 параметри.

p_{i}

$p_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

— Макрос

@Robby, щоб зменшити кількість параметрів, вам доведеться зробити деякі обмеження. Наприклад,

, хоча немає підстав вважати, що це має сенс - тим більше, що функції зв’язку різні.

λ = β

$\lambda=\beta$

— Макрос

@MichaelChernick - це називається нульовим завищеним Пуассоном, оскільки ви, в основному, "надуваєте" ймовірність побачити нуль з Poisson dist'n, зберігаючи ті ж відносні ймовірності побачити ненульове значення, як має Пуассон.

— jbowman

У випадку з нульовим роздутом Пуассона, якщо , то і обидві мають однакову довжину, яка є кількістю стовпців або $\mathbf{B}=\mathbf{G}$ $\beta$ $\lambda$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{G}$ . Таким чином, кількість параметрів вдвічі перевищує кількість стовпців проектної матриці, тобто вдвічі більше пояснювальних змінних, включаючи перехоплення (і все необхідне фіктивне кодування).

У прямій пуассоновій регресії немає жодного вектора, про який слід турбуватися, не потрібно оцінювати . Тож кількість параметрів - це лише довжина $\mathbf{p}$ $\lambda$ $\beta$ тобто половина кількості параметрів у випадку, завищеному нулем.

Тепер немає жодної конкретної причини, чому дорівнює , але в цілому це має сенс. Однак можна уявити процес генерування даних, коли шанс виникнення будь-яких подій створюється одним процесом і зовсім іншим процесом визначає, скільки подій існує, враховуючи ненульові події. Як надуманий приклад, я вибираю аудиторії на основі результатів іспитів з історії, щоб грати в якусь непов’язану гру, а потім спостерігаю кількість забитих м'ячів. У цьому випадку може бути зовсім іншим порівняно з (якщо бали екзамену з історії водіння історії відрізняються від показників водіння в грі) та і $\mathbf{B}$ $\mathbf{G}$ $\mathbf{G\lambda}$ $\mathbf{B\beta}$ $\mathbf{B}$ $\mathbf{G}$ $\beta$ $\lambda$ може мати різну довжину. може бути більше стовпців, ніж або менше. Тож нульова завищена модель Пуассона в такому випадку матиме більше параметрів, ніж проста модель Пуассона. $\mathbf{G}$ $\mathbf{B}$

У звичайній практиці я думаю, що більшість часу. $\mathbf{G} = \mathbf{B}$

— Пітер Елліс
джерело