SVD корельованої матриці має бути добавкою, але, здається, не є

Я просто намагаюся повторити заяву, викладену в наступному документі, знаходження корельованих бікластерів з даних даних про вираження генів , а саме:

Пропозиція 4. Якщо . то ми маємо:$X_{IJ}=R_{I}C^{T}_{J}$

i. Якщо є ідеальним бікластером з адитивною моделлю, то - це ідеальний бікластер з кореляцією по стовпцях; ii. Якщо - ідеальний бікластер з додатковою моделлю, то є ідеальним бікластером з кореляцією по рядках; iii. Якщо і і є ідеальними бікластерами з додатковою моделлю, то - ідеальний корельований бікластер. X I J C J X I J R I C J X I $R_{I}$$X_{IJ}$
$C_J$$X_{IJ}$
$R_I$$C_J$$X_{IJ}$

Ці пропозиції можна легко довести ...

... але, звичайно, вони цього не доводять.

Я використовую кілька простих прикладів у папері плюс база + спеціальний R код, щоб побачити, чи можу я продемонструвати цю пропозицію.

corbic <- matrix(c(0,4,-4,2,2,-2,6,0,4,-8,16,-2,-2,10,-14,4), ncol=4)

(з таблиці 1F)

деякий спеціальний код для перетворення стандартної форми X = svd в як описано в статті: X = R C $UdV^T$$X=RC^{T}$

svdToRC <- function(x, ignoreRank = FALSE, r = length(x$d), zerothresh=1e-9) {
#convert standard SVD decomposed matrices UEV' to RC' form
#x -> output of svd(M)
#r -> rank of matrix (defaults to length of singular values vector)
            # but really is the number of non-zero singular values
#ignoreRank -> return the full decomposition (ignore zero singular values)
#zerothresh -> how small is zero?

    R <- with(x, t(t(u) * sqrt(d)))
    C <- with(x, t(t(v) * sqrt(d)))

    if (!ignoreRank) {
        ind <- which(x$d >= zerothresh)
    } else {
        ind <- 1:r
    }

    return(list(R=as.matrix(R[,ind]), C=as.matrix(C[,ind])))
}

застосувати цю функцію до набору даних:

 > svdToRC(svd(corbic))
$R
           [,1]       [,2]
[1,]  0.8727254 -0.9497284
[2,] -2.5789775 -1.1784221
[3,]  4.3244283 -0.7210346
[4,] -0.8531261 -1.0640752

$C
          [,1]       [,2]
[1,] -1.092343 -1.0037767
[2,]  1.223860 -0.9812343
[3,]  3.540063 -0.9586919
[4,] -3.408546 -1.0263191

Якщо я не галюциную, ці матриці не є добавками, навіть незважаючи на те, що в корбі показано ідеальне співвідношення між рядками та стовпцями. Дивно здається, що приклад, який вони надають, демонструє властивість, яку вони сказали, що це повинно ... хіба що я пропускаю якийсь крок до- або післясверднього перетворення?

Зауважимо, що "бікластер" у цій статті відноситься до підмножини матриці, "підмножини рядків, які демонструють подібну поведінку в підмножині стовпців, або навпаки". Ідентифікація бікластерів зазвичай проводиться в алгоритмах виведення даних. Автори випробовують нову "корельовану бікластерну модель", яка відрізняється від попередніх моделей, що використовуються для ідентифікації цих підмножин. Я нічого не знаю про генетику, але плутанина тут здається досить чіткою і походить з двох джерел:

1. Вживання слова "добавка"

У цьому документі немає нічого, що означає, що дві матриці, подані у виводі функції, повинні бути "аддитивними", якщо під "добавкою" додатковою інверсією є те, що означає ОП. У цьому сенсі автори не використовують словодобавку. Вони мають на увазі отримання бікластера з додатковою моделлю, "де кожен рядок або стовпець можна отримати, додавши константу в інший рядок або стовпець".

2. Неправильне пропозиція 4.3

Виходячи з коментаря @StumpyJoePete, пропозиція говорить про те, що якщо і і є ідеальними бікластерами з додатковою моделлю, то - ідеальний корельований бікластер. Автори не кажуть, що буде навпаки. Автори не заперечують, що якщо є ідеальним корельованим бікластером, то і будуть добавками - в будь-якому сенсі слова "добавка". Вони не говорять про те, що і повинні бути обернено аддитивними або що вони повинні бути в змозі відповідати моделі присадок. C J X I J X I J R I C J R I C $R_I$$C_J$$X_{IJ}$$X_{IJ}$$R_I$$C_J$$R_I$$C_J$

* Крім того, приклади даних походять із зовсім іншого розділу статті, ніж пропозиції, обговорені у питанні.