Як я можу генерувати дані заздалегідь визначеною кореляційною матрицею?

Я намагаюся генерувати корельовану випадкову послідовність із середнім = , дисперсією = , коефіцієнтом кореляції = . У наведеному нижче коді я використовую & як стандартні відхилення, і & як засіб.1 $0$$1$$0.8$s1s2m1m2

p = 0.8 
u = randn(1, n)
v = randn(1, n)
x = s1 * u + m1
y = s2 * (p * u + sqrt(1 - p^2) * v) + m2

Це дає мені правильність corrcoef()0,8 між xта y. Моє запитання полягає в тому, як я можу генерувати серію, якщо я хочу, zщоб вона також була співвіднесена y(з тією ж кореляцією ), але не з . Чи є певна формула, яку я повинен знати? Я знайшов його, але не зміг його зрозуміти.$r=0.8$x

Здається, ви запитуєте, як генерувати дані за допомогою певної кореляційної матриці.

Корисний факт полягає в тому, що якщо у вас є випадковий вектор з коваріаційною матрицею , то випадковий вектор має значення і матрицю коваріації . Отже, якщо ви почнете з даних, що мають середній нуль, множення на це не змінить, тому ваша перша вимога буде легко виконана. Σ A x A E ( x ) Ω = A Σ A T${\bf x}$$\Sigma$${\bf Ax}$${\bf A} E({\bf x})$$\Omega = {\bf A} \Sigma {\bf A}^{T}$${\bf A}$

Припустимо, ви починаєте з (середнє нуль) некоррелірованних даних (тобто ковариационная матриця є діагональною) - так як ми говоримо про кореляційної матриці, давайте просто взяти . Ви можете перетворити це в даних із заданою ковариационной матрицею, вибираючи , щоб бути Cholesky квадратний корінь з - тоді матиме бажаний ковариационная матриця .A Ω A x$\Sigma = I$${\bf A}$$\Omega$${\bf Ax}$$\Omega$

У вашому прикладі вам здається, що ви хочете чогось подібного:

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & 0 \\ .8 & 1 & .8 \\ 0 & .8 & 1 \\ \end{array} \right)$$

На жаль, матриця не є позитивно визначеною, тому вона не може бути коваріаційною матрицею - ви можете перевірити це, побачивши, що визначник є від'ємним. Можливо, замість цього

$$\Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & .8 & .3 \\ .8 & 1 & .8 \\ .3 & .8 & 1 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \Omega = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2/3 & 0 \\ 2/3 & 1 & 2/3 \\ 0 & 2/3 & 1 \\ \end{array} \right)$$

вистачило б Я не впевнений, як обчислити квадрат холеського кореня в matlab (який, здається, є тим, що ви використовуєте), але в ньому Rви можете використовувати chol()функцію.

У цьому прикладі для двох s, перелічених вище, було б відповідне кратне матричне число (відповідно)$\Omega$

$${\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ .8 & .6 & 0 \\ .3 & .933 & .1972 \\ \end{array} \right) \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ {\bf A} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2/3 & .7453 & 0 \\ 0 & .8944 & .4472 \\ \end{array} \right)$$

RКод , який використовується , щоб прибути на це:

x = matrix(0,3,3)
x[1,]=c(1,.8,.3)
x[2,]=c(.8,1,.8)
x[3,]=c(.3,.8,1)
t(chol(x))

     [,1]      [,2]      [,3]
[1,]  1.0 0.0000000 0.0000000
[2,]  0.8 0.6000000 0.0000000
[3,]  0.3 0.9333333 0.1972027

x[1,]=c(1,2/3,0)
x[2,]=c(2/3,1,2/3)
x[3,]=c(0,2/3,1)
t(chol(x))

      [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.0000000 0.0000000
[2,] 0.6666667 0.7453560 0.0000000
[3,] 0.0000000 0.8944272 0.4472136

Якщо ви використовуєте R, ви також можете використовувати функцію mvrnorm з пакету MASS, припускаючи, що ви хочете нормально розподілити змінні. Реалізація схожа на описаний вище Макрос, але використовує власні вектори матриці кореляції замість холеського розкладання та масштабування з розкладанням сингулярного значення (якщо емпіричний параметр встановлено на істинне).

$X$$\Sigma$$\gamma$$\lambda$$\Sigma$

$X' = \gamma\lambda X^{T}$

$\Sigma$$X$

Зауважте, що матриця кореляції має бути позитивно визначеною, але перетворення її за допомогою функції NearPD з пакету Matrix в R буде корисним.

$\Sigma_y$$x$$\Sigma_x = I$$\Sigma_y$$\Lambda$$V$

$\Sigma_y = V \Lambda V^T = ( V \sqrt{\Lambda} ) (\sqrt{\Lambda}^T V^T ) = A A^T$

$y=Ax$